Лекция № 2 Алгебра событий. Аксиомы тв. Основные теоремы теории вероятностей. Модели надежности технических систем

1. Алгебра событий.

Случайные события могут быть простыми и сложными. Как правило, вероятности простых событий легко определяются с помощью несложных формул, например, непосредственного подсчета вероятностей. Простые случайные события могут образовывать сложные события, а сложные – еще более сложные. Теория вероятностей предоставляет возможность по известным вероятностям простых событий рассчитывать вероятности сложных событий. Но для этого необходимо уметь составлять из простых событий сложные.

С этой целью введем новые понятия.

Определение 2.1

Суммой двух событий А и В называют такое событие С, которое происходит тогда, когда происходит или событие А, или событие В, или события А и В одновременно в одном опыте.

С=А+В

Операция суммирования имеет место, когда простые события объединяются в слож-ное с использованием союза "или".

Геометрическая интерпретация.

Пусть множество всех точек плоскости представляет собой пространство элементарных событий Ω.

Пусть область А представляет собой множество точек, кото- рые соответствуют элементарным исходам опыта, благоприятствующим событию А; область В – событию В; тогда область С – включает события благоприятные хотя бы одному из событий А или В.

С = А + В , ( С = А U В ).

Операция суммирования может быть обобщена на суммирование нескольких событий.

В этом случае суммой нескольких событий будет событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из событий.

Пример 1.

Опыт: выбор карты из колоды.

Случайные события: А – появление трефовой масти,

В – появление туза,

С=А+В

С – появление трефовой масти (А) или туза (В)

Пример 2.

Опыт: бросок игрального кубика.

Случайные события: А – выпадение нечетного числа очков, А={a₁, a₃, a₅},

В – выпадение числа очков, кратного трем, В={a₃, a₆}.

Тогда событие С – выпадении нечетного числа очков или числа очков, кратного трем, будет суммой событий А и В

С=А+В , C={a₁, a₃, a₅, a₆}.

Определение 2.

Произведением двух событий А и В называют такое событие D, которое происходит тогда, когда происходит и событие А, и событие В одновременно в одном опыте.

D = А · В .

Операция умножения имеет место, когда простые события объединяются в сложное с использованием союза "и".

Пример 3.

Опыт: выбор карты из колоды.

События: А – появление трефовой масти,

В – появление туза,

D = А · В ( D = А ∩ В )

D – появление трефового туза.

Геометрическая интерпретация.

Пусть множество всех точек плоскости представляет собой пространство элементарных событий Ω.

А

В

А

В

Область А представляет собой множество точек, которые

соответствуют элементарным исходам опыта, благоприятст

в

D = А · В

ующим событию А; область В – событию В; тогда область D представляет собой множество точек, которые соответствуют элементарным исходам опыта, одновременно благоприятствующим и событию А, и событию В.

( D = А ∩ В )

А + В = А

А · В = В

Операция умножения может быть обобщена на умножение нескольких событий.

В этом случае произведением нескольких событий будет являться событие, которое состоит в одновременном появлении в одном опыте всех событий.

Пример 3.

Опыт: бросок игрального кубика.

Случайные события: А – выпадение нечетного числа очков, А={a₁, a₃, a₅},

В – выпадение числа очков, кратного трем, В={a₃, a₆}.

Тогда событие D, которое заключается в выпадении нечетного числа очков и одновременно кратного трем, будет произведением событий А и В

D = А · В, D={a₃}.

Дадим теоретико-множественное истолкование тем свойствам событий, которые мы рассматривали в первой лекции.

Несколько событий А₁, А₂, ..., А_n образуют полную группу, если

Аi = Ω, т.е. их сумма (объединение) есть достоверное событие.

Два события А, В называют несовместными, если соответствующие множества не пересекаются, т.е.

АВ = .

Несколько событий А₁, А₂, ..., А_n называются попарно несовместными (или просто несовместными), если появление любого из них исключает появление каждого из остальных:

A_iA_j =  (при i j).

Свойства операций сложения и умножения

Операций сложения и умножения событий обладают следующими свойствами:

• коммутативностью:

A+B = B+A;

A∙B = B∙A;

• ассоциативностью:

(A+B)+C = A+(B+C);

(A∙B)∙C = A∙ (B∙C);

• дистрибутивностью:

А∙ (A+B) = A∙В +B∙C .

Полезные формулы:

• для Ø-события: A + Ø = A ; A ∙ Ø = Ø ;

• для U-события: A + U = U ; A ∙ U = A ;

• для А-события: A + A = A; A ∙ A = A .

2. Аксиомы ТВ

На основе вышеизложенной трактовки событий как множеств сформулируем аксиомы теории вероятностей. Пусть каждому событию А ставится в соответствие некоторое число, называемое вероятностью события. Вероятность события А будем обозначать Р(А). Так как любое событие есть множество, то вероятность события есть функция множества.

Потребуем, чтобы вероятности событий удовлетворяли следующим

аксиомам:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

0  Р(А)  1

2. Если А и В несовместные события (АВ=Æ), то

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

Эта аксиома легко обобщается ( с помощью сочетательного свойства сложения ) на любое число событий: если А_iА_j = Æ при i  j, то

= ,

т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Аксиому сложения вероятностей иногда называют «теоремой сложения» (для опытов, сводящихся к схеме случаев, она может быть доказана), а также правилом сложения вероятностей.

3. Если имеется счетное множество несовместных событий A₁, A₂, ..., A_n,

. (A_iA_j = Æ при i  j), то

= .

Третью аксиому приходится вводить отдельно, так как она не выводится из второй.

Из аксиом 1,2,3 вытекает ряд важных следствий.

Следствие 1. Сумма вероятностей полной группы несовместимых событий равна единице, т.е. если

 A_i = Ω; A_iA_j = Æ при i  j, то

• P (A_i) = 1.

Доказательство: действительно, так как события A₁, A₂, ..., A_n несовместны, то к ним применимо правило сложения:

= P ∑ (A_i ) = P(Ω) = 1.

Определение 3.

Два события А и называются противоположными, если они образуют полную группу несовместных событий.

Т.е. противоположным по отношению к событию А называется событие Ā, состоящее в не появлении А и, значит, дополняющее его до Ω.

Пример 4.

1) опыт – выстрел по мишени:

А – попадание в мишень,

Ā – непопадание в мишень;

1. опыт – подбрасывание игрального кубика:

А – появление четной цифры,

Ā – появление нечетной цифры:

2. опыт – подбрасывание монеты:

А – герб,

Ā – цифра.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

P(A) + P(Ā) = 1,

Из следствия 2 вытекают равенства

Р( ) = 1 – Р(А) ; Р(А) = 1 – Р( ) .

Это свойство противоположных событий очень широко применяется в теории вероятностей. Часто бывает проще вычислить вероятность противоположного события Ā, чем вероятность интересующего нас события А.