3. Основные теоремы теории вероятностей
Основные теоремы теории вероятностей позволяют по известным вероятностям простых событий определять вероятности более сложных событий.
Теорема 1. Теорема сложения вероятностей.
Вероятность суммы двух событий А и В равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности произведения этих же событий
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В). (2.1)
Доказательство. Пусть исходы опыта образуют полную группу n несовместных равновозможных событий (рис.2.1). При этом
m из них благоприятны событию А;
k из них благоприятны событию В;
l из них благоприятны произведению событий А ·В.
Рис.2.1
Тогда согласно классической формуле определения вероятности:
Согласно той же формуле вероятность появления события А или В
Преобразуем последнее равенство:
что и требовалось доказать.
Следствие теоремы 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме их вероятностей.
-
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) .
(2.2)
Следствие очевидно, поскольку произведение несовместных событий представляет собой невозможное событие, а вероятность невозможного события равна нулю:
Следствие легко обобщается на случай нескольких событий.
Определение 4.
События А и В называются независимыми, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или не произошло.
Пример 5.
Опыт – два раза подбрасывается монета.
Событие А - появление герба при первом бросании монеты.
Событие В - появление герба при втором бросании монеты.
События независимы.
Пример 6.
Опыт – выбор шара из урны с двумя белыми и одним черным шарами.
Событие А - появление белого шара при первом вынимании.
Событие В - появление белого шара при втором вынимании.
События зависимые.
Определение 5.
Для зависимых событий А и B вероятность события B, вычисленная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью и обозначается Р(В/А) или РА(В).
Для примера 6.
Р(А)= , Р(B/А) = .
Теорема 2. Теорема умножения вероятностей.
Вероятность произведения двух событий А и В равна вероятности события А, умноженной на условную вероятность события В при условии, что событие А произошло, или равна вероятности события В, умноженной на условную вероятность события А при условии, что событие В произошло
Р(А∙В) = Р(А) ∙ Р (B/А ) = Р(В) ∙Р (А/ B) . (2.3)
Доказательство. Пусть исходы опыта образуют полную группу n несовместных равновозможных событий (рис.2.1). При этом
m из них благоприятны событию А;
k из них благоприятны событию В;
l из них благоприятны произведению событий А ·В.
Тогда согласно классической формуле определения вероятности:
Преобразуем равенство:
Таким образом, теорема доказана.
Следствие теоремы 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей
-
Р(А·В) = Р(А) · Р (В) .
(2.4)
Следствие довольно просто объясняется, если принять во внимание, что для независимых событий условные вероятности совпадают с безусловными:
Р(А/B)= P(A); Р (B/А ) = P(В) .
Следствие легко обобщается на случай нескольких событий.
Пример 7.
Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень в каждом выстреле одинакова и равна 0,9. Найти вероятность того, что в мишени будет только две пробоины.
Решение.
Опыт – три выстрела по мишени.
Событие A – после трех выстрелов в мишени будет только две пробоины.
Введем обозначения:
A1 – попадание при первом выстреле, Р(A1)=0,9;
1– промах при первом выстреле; Р( 1) = 1– Р(A1)=1– 0,9=0,01;
A2 – попадание при втором выстреле, Р(A2)=0,9;
2 – промах при втором выстреле; Р( 2) = 1 – Р(A2)=1– 0,9=0,01;
A3 – попадание при третьем выстреле, Р(A3)=0,9;
3 – промах при третьем выстреле, Р( 3) = 1 – Р(A3)=1– 0,9=0,01.
Тогда событие A можно разложить на простые следующим образом:
А = A1A2 3 + A1 2A3 + 1A2A3 .
Поскольку слагаемые в приведенном разложении соответствуют несовместным событиям, то вероятность события A будет равна сумме вероятностей этих событий (следствие теоремы 2.1):
Р(А) = Р(A1A2 3 + A1 2A3 + 1A2A3)= Р(A1A2 3) + Р(A1 2A3) + Р( 1A2A3) .
А поскольку все выстрелы являются независимыми между собой, то каждое слагаемое в последнем выражении можно представить как произведение вероятностей простых событий (следствие теоремы 2.2)
Р(А) = Р(A1)Р( A2)Р( 3) + Р(A1)Р( 2)Р(А3) +Р( 1)Р( A2)Р(А3)=
= 0,9· 0,9· 0,1+0,9·0,1· 0,9+0,1· 0,9· 0,9=3· 0,9· 0,9· 0,1=0,243.