1. Математическое ожидание.

В соответствии с формулой (6.1) математическое ожидание дискретной случайной величины определится следующим образом:

Последняя сумма представляет собой функциональный ряд, сходящийся к функции е^а . Продолжим преобразования:

т.е. математическое ожидание пуассоновской случайной величины

(7.8)

2. Дисперсия.

Определим предварительно второй начальный момент в соответствии с формулой (6.4):

Дисперсию пуассоновской случайной величины определим по формуле связи:

т.е. дисперсия (7.9)

3. Среднее квадратичное отклонение.

(7.10)

4. Вероятность попадания пуассоновской случайной величины на заданный участок.

Для случайных пуассоновских величин существуют две специальные таблицы, позволяющие решать различные задачи, связанные с распределением Пуассона, без вычисления факториальных величин типа m! , степенных величин типа a^m и показательных величин типа е^–а.

Первая таблица позволяет определять вероятность того, что пуассоновская случайная величина принимает значение m, то есть вероятность P(X=m) .

Вторая таблица позволяет определять вероятность того, что пуассоновская случайная величина принимает значения, которые меньше или равны m, то есть вероятность P{X m} .

Вторая таблица является более универсальной, так как позволяет легко определять вероятности:

P{X m} как разность P{X m} – P{X (m–1)} ;

P{X m} как разность 1 – P{X (m–1)} ;

P{m₁ X m₂} как разность P{X m₂} – P{X (m₁–1)} .

Задача 7.2.

Случайная величина Х (количество блоков, поступающих с ДСК на стройплощадку ) распределена по закону Пуассона. Интенсивность поступления блоков  = 5 блок/час.

Найти вероятность того, что количество блоков, поступивших за два часа, превышает 10 шт.

P{X > 10} = аⁱ /i! ·e^-a = 1 – P{X  10} = 1 – аⁱ /i! ·e^-a = 1 – 10ⁱ /i! ·e^-10

а = T = 5 ·2 = 10

2. Законы распределения непрерывных случайных величин.

Среди непрерывных случайных величин особого внимания заслуживают величины, имеющие один из следующих законов распределения:

1. равномерный;

2. показательный;

3. нормальный.

2.1. Равномерный закон распределения

Определение 7.6.

Непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

(7.11)

Это распределение является непрерывным аналогом классического определения вероятности.

График плотности распределения для равномерно распределенной случайной величины имеет вид, показанный на рис.7.2.

Найдем значение величины с в (7.11) с помощью первого свойства плотности распределения .

.

Откуда

Тогда (7.12)

Равномерный закон распределения имеет два параметра: а и b .

Интегральная функция распределения, согласно обратному преобразованию (5.2), определяется следующим образом:

Таким образом, интегральная функция равномерно распределенной величины определяется как

(7.13)

График интегральной функции для равномерно распределенной случайной величины имеет вид, показанный на рис.7.3.

Числовые характеристики

1. Математическое ожидание.

т.е. (7.14)

2. Дисперсия.

Определим предварительно второй начальный момент

Дисперсию равномерно распределенной случайной величины определим по формуле связи:

т.е. (7.15)

3. Среднее квадратичное отклонение.

(7.16)

4. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на заданный участок[α,β], если участок входит в диапазон [a, b], можно определить двумя способами:

1-й способ. По формуле (6. )

.

2-й способ. По формуле (6. )

.

Таким образом,

если (7.17)

Геометрически вероятности соответствует область, выделенная штриховкой на рис.7.2.