- •Введение
- •Литература
- •Элементы теории вероятностей
- •Случайное событие и вероятность
- •Определение вероятности
- •Принцип практической невозможности маловероятных событий
- •Формулы комбинаторики
- •Условная вероятность
- •Независимые события
- •Свойства вероятности
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Случайная величина
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия дискретной с.В.
- •Свойства дисперсии
- •Закон больших чисел.
- •Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Односторонние и двухсторонние значения вероятностей
- •Нормальное распределение
- •Взаимосвязи случайных величин Парная корреляция
- •Элементы математической статистики
- •Генеральная и выборочная совокупность
- •Основные шкалы измерений
- •Точечные оценки параметров распределения
- •Проверка статистических гипотез
- •Исследование зависимости между двумя характеристиками
- •Лабораторная работа Задание 1. Нахождение выборочных характеристик
- •Задача 1.1.
- •Задача 1.2.
- •Задача 1.3.
- •Задача 1.4.
- •Задача 1.5.
- •Задача 1.6.
- •Задание 2 Построение гистограммы выборки
- •Задача 2.1
- •Задание 3 Проверка статистических гипотез
- •Одновыборочный критерий Стьюдента
- •Двухвыборочный критерий Стьюдента
- •Критерий согласия хи-квадрат
- •Задание 4. Интервальные оценки
- •Задача 4.1.
- •Задача 4.2.
- •Анализ значения коэффициента корреляции
- •Построение линий регрессии
- •Преподавателю и студенту было предложено расположить 15 профессий в порядке их восстребованности на рынке. В результате получилась следующая таблица:
- •Оглавление
Функция распределения случайной величины
При статистических исследованиях приходится рассчитывать вероятности определенных событий. При этом классическая модель определения вероятности мало подходит, поскольку область значений с.в. заранее не задана, и может меняться в достаточно широких пределах. Поэтому для расчетов используют непрерывные случайные величины. Как уже упоминалось выше, для описания дискретной случайной величины достаточно задать вероятность каждого его значения: . Однако в случае случайных величин, принимающих бесконечное множество значений, такой подход неприемлем. Рассмотрим определение функции распределения с.в., которое обобщает оба случая:
Функцией распределения с.в. Х называют функцию , определяющую вероятность того, что с.в. Х в результате испытания примет значение меньше , т.е. . Другими словами, распределение числовой случайной величины – это функция, которая однозначно определяет вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу. Используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях функции распределения бывают либо дискретными, либо непрерывными, либо их комбинациями.
1. Случайная величина принимает конечное число значений. Упорядочим значения с.в. по неубыванию: .
График функции распределения случайной величины Х выглядит следующим образом:
2. Случайная величина является непрерывной и принимает бесконечно много значений. Это возможно лишь тогда, когда вероятностное пространство, на котором определена случайная величина, состоит из бесконечного числа элементарных событий. Для непрерывных с.в. бессмысленно задавать вероятности , поскольку они все равны нулю. Поэтому рассматриваются вероятности принадлежности значений случайной величины интервалу . Можно показать, что . В этом случае мы имеем неубывающую непрерывную функцию распределения. Используемые в статистике непрерывные функции распределения, как правило, имеют производные. Первая производная функции распределения называется функцией плотности вероятности. По плотности вероятности можно определить функцию распределения посредством соотношения . Из соотношений и следует . При этом вероятность определяется по формуле
.
График плотности вероятностей называют кривой распределения. Вероятность попадания случайной величины в интервал численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции и с основанием , т.е. графически вероятность изображается как площадь под кривой, ограниченной пределами значений переменной
А вся площадь под кривой распределения равна единице.
Пример 2. Рассмотрим следующую функцию распределения:
где a и b – некоторые числа, a<b. Ниже на рисунке приведен график этой функции
Беря производные, найдем плотность вероятности этой функции распределения:
(в точках x = a и x = b производная функции F(x) не существует). Заданная функция определяет функцию равномерного распределения на отрезке . график плотности этой случайной величины приведен на рисунке