Определение вероятности

Возможность наступления различных событий может различаться. Будем считать более вероятными те события, которые происходят чаще, менее вероятными - те, которые происходят реже; маловероятными - те, которые вообще не происходят. Например, событие "температура выше 30-ти градусов тепла в июле" более вероятно, чем "выпадение снега в Казани тот же день", а событие "появление шаровой молнии" крайне мало вероятно. Поэтому, понятие вероятности события с самого начала тесно увязывается с понятием его частоты.

Каждому событию приписывается некоторое число, называемое его вероятностью и характеризующее степень возможности реализации этого события. При этом достоверному событию приписывается вероятность 1, а невозможному событию вероятность 0. Все остальные события имеют вероятности, лежащие между нулем и единицей.

Пусть множество  состоит из конечного числа элементарных событий и все элементарные события равновозможны, т.е. ни одному из них из них нельзя отдать предпочтения до испытания(имеет место принцип симетричности). Если из них принадлежат событию A, то вероятностью события A называется число

(1)

Более строго, модель можно описать следующим образом:

Пусть , и , , , то . Очевидно, что .

Таким образом, вероятность показывает степень возможности осуществления данного события. Приведенное выше определение вероятности описывает достаточно частный случай и применимо только для конечного пространства элементарных событий. В общем случае теория вероятностей опирается на аксиоматическое определение вероятности, предложенное академиком А.Н. Колмогоровым (в данном учебном пособии не рассматривается). Этот подход позволил рассматривать теорию вероятностей и математическую статистику с математических позиций, проводить рассуждения на математическом уровне строгости. В частности, было введено четкое различие между частотой и вероятностью, случайная величина стала рассматриваться как функция от элементарного исхода, и т.д.

Пример 1.1. Бросили симметричную игральную кость. Какова вероятность того, что выпала грань, помеченная числом 3?

Решение: Всего существует 6 вариантов выпадения кости (n = 6). Все эти варианты равновозможны, т.к. кость симметрична. Нас интересует единственный исход, следовательно, m = 1; значит , где через обозначена вероятность выпадения числа 3.

Пример 1.2. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет нечетное число очков?

Решение: Благоприятных возможностей здесь три: 1; 3; 5. Поэтому m = 3, всего исходов 6 (n = 6), следовательно , где через обозначено событие выпадение нечетной грани.

Пример 1.3. Бросают 2 игральные кости и сравнивают сумму выпавших очков. Что вероятней – получить в сумме 7 или 8?

Решение: В этой задаче нас интересуют события - «выпало 7 очков» и - «выпало 8 очков». Число всех возможных исходов при бросании двух костей (каждое значение выпавшей грани на первой кости может сочетаться с любым значением на второй кости). Из этих 36 исходов событию A будут благоприятствовать исходы: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1)³, т.е. всего 6 (m = 6). По формуле имеем:

Событию B будут благоприятствовать исходы: (2;6); (3;5); (4;4); (5;3); (6;2), т.е. всего 5. По формуле, имеем: . Следовательно, событие получить в сумме 7 очков – более вероятное событие, чем получить 8.

Однако вычисление вероятности события по формулам требует знания числа всех элементарных событий, а также количества элементарных событий, составляющих . При решении практических задач мы часто не имеем никакой информации об интересующих нас показателях. Существует другой подход к вычислению значения вероятности.

Если мы интересуемся событием , то, скорее всего, можем наблюдать, фиксировать факты его появления. В этом случае полезно использовать понятие частоты появления события  как отношения числа случаев его появления (благоприятных исходов) к общему числу наблюдений.

Интуиция подсказывает, что частота наступления случайного события зависит не только от степени случайности самого события. Если мы наблюдали за событием всего пять раз и в трех случаях это событие произошло, то мало кто примет значение вероятности такого события равным 0.6 или 60%. Скорее всего, особенно в случаях необходимости принятия каких–то важных, дорогостоящих решений любой из нас продолжит наблюдения. Здравый смысл⁴ подсказывает нам, что уж если в 100 наблюдениях событие произошло 12 раз, то мы можем с куда большей уверенностью полагать его вероятность равной 0,12.

Пример 1.4 Вероятность выпадения решки при подбрасываниях симметричной монеты, может быть вычислена как предельное значение частоты выпадения соответствующей стороны монеты при достаточно большом числе испытаний (каждое испытание заключается в однократном подбрасывании монеты с фиксацией выпадения решки). В таблице приведены результаты трех исследований, состоящих в многократном бросании симметричной монеты

Экспериментаторы	Число бросаний	Число выпадений решки	Частота
Ж. Бюффон	4040	2048	0,5080
К. Пирсон	12000	6019	0,5016
К. Пирсон	24000	12012	0,5005

Как видно, частота появления герба в сериях экспериментов мало отличается от 0,5 и с увеличением числа испытаний погрешность уменьшается.

Таким образом, вероятность можно рассматривать в качестве предела, к которому стремится частота наблюдения за событием при непрерывном увеличении числа наблюдений. Теория вероятностей доказывает существование такого предела и сходимость частоты к вероятности при стремлении числа наблюдений к бесконечности. Это положение носит название закона больших чисел.