Задание 3 Проверка статистических гипотез

Для решения различных типов задач используются различные статистические критерии. Существует достаточно много хорошо изученных статистик, для которых известны функции распределений, известны поведение этих функций при увеличении объема исследуемых выборок. На практике преобладают критерии, для которых функции распределения соответствующих статистик близки к нормальному распределению с некоторыми параметрами. В общем случае, выбор функции статистики определяется характером задачи, предварительным исследованием данных выборки.

Основные этапы проверки статистических гипотез:

1. Нужно сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы.

2. Выбрать статистический критерий для проверки выдвинутой нулевой гипотезы.

3. Используя имеющуюся выборку вычислить значение статистического критерия и отвечающего ему достигнутого уровня значимости.

4. Сравнить значение достигнутого уровня значимости с выбранным критическим уровнем значимости (обычно это 5% или 1%) и принять или отклонить нулевую гипотезу.

Одновыборочный критерий Стьюдента

Задача 3.1.

Имеются две выборки и одинакового объема. Известно, что распределения выборок подчиняется нормальному закону, и, кроме того, измерения проводятся для одних и тех же объектов исследования в различное время или после проведения определенных действий(каждое значение связано со значением ). Примерами таких задач являются оценка эффективности применения нового лекарства (оцениваются показатели здоровья одних и тех же больных до и после лечения), сравнения уровня жизни населения при проведении социального эксперимента (сравниваются уровни жизни для фиксированной группы людей до и после эксперимента), влияния на студентов какого-либо вида учебной нагрузки (сравниваются показатели IQ для одной и той же группы студентов до и после чтения лекций). Конечно можно было бы провести соответствующие исследования для двух независимых однородных групп. Но даже без математических выкладок ясно, что результаты будут точнее, если исследуемая группа не меняется в ходе эксперимента.

Требуется проверить гипотезу однородности выборок, которые, вообще говоря, являются зависимыми. Подтверждение гипотезы однородности означает, что эксперимент значимых результатов не дал. Один из возможных подходов к решению задачи сводится к проверке равенства нулю среднего значения разности двух выборок (одновыборочный критерий Стьюдента).

Пусть имеются данные по 10 районам о количестве преступлений за 2006-2007 годы. Требуется определить, вызваны ли различия в показателях случайными факторами (данные взяты в разное время и естественно должны различаться) или изменения носят качественный характер.

Исходные данные:

Регион	2006	2007	Разность
район1	162,8	139	23,8
район2	186,9	189	-2,1
район3	167,2	162	5,2
район4	166,5	168,6	-2,1
район5	173	164,9	8,1
район6	164,1	137,9	26,2
район7	158,3	121,7	36,6
район8	168,4	129,9	38,5
район9	174,8	160,5	14,3
район10	167,4	155,3	12,1

Непосредственный анализ данных в таблице показывает, что имеется тенденция к уменьшению числа преступлений. Нас интересует вопрос, действительно ли уменьшилось количество преступлений за приведенные годы и носит ли это изменение качественный характер.

Поскольку каждое значение в одной выборке связано со значением в другой, можно оценивать разность двух измерений . Если с.в. и подчинены нормальному закону, то этому свойству удовлетворяет и их разность. В предположении, что обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности следует, что математическое ожидание разности соответствующих значений равно нулю. В этом случае гипотеза однородности двух выборок может быть сформулирована в виде , где разность средних выборок и . Альтернатива к нулевой гипотезе связана чаще всего с ожидаемым результатом. В частности для приведенной задачи, поскольку ожидается, что проводимая работа привела к понижению уровня количества преступлений, гипотеза должна иметь вид . Другой вариант альтернативной гипотезы рассматривается в случае, когда необходимо просто проверить различие выборок. В качестве используемой статистики в задаче необходимо рассмотреть функцию

(статистика Стьюдента).

Порядок вычислений

1. Ввести данные в столбцы A (наименование района), B (данные за 2006 год) и C(данные за 2007 год)

2. В ячейке D2 вычислить разности значений количества преступлений D2=B2-C2 за разные годы по району 1

3. Скопировать набранную формулу из ячейки D2 для каждого значения из столбца В

4. Вычислить среднее(СРЗНАЧ) для каждого из трех столбцов (B, C и D) (записать в ячейки G3,H3,I3)

5. для каждого из трех столбцов найти стандартные отклонения (функция СТАНДОТКЛОН) (записать в ячейки G4,H4,I4)

6. посчитать объемы выборок (функция СЧЕТ) (записать в ячейки G5,H5,I5)

7. используя найденные стандартные отклонения и объем выборки вычислить стандартную ошибку среднего

(функция =I4/КОРЕНЬ(I5-1)) с помещением результата в ячейку I6

8. В ячейке G8 вычислить статистику Стьюдента =I3/I6

9. В ячейке G9 вычислить уровень значимости =СТЬЮДРАСП(G8,I5-1,1) (значение третьего аргумента функции СТЬЮДРАСП зависит от выбора альтернативной гипотезы. В нашем случае он равен 1, поскольку в качестве альтернативной гипотезы выбрана гипотеза «стало меньше» и рассматривается односторонняя критическая область)

10. По результатам анализа значения ячейки G9 (сравнения с критическим уровнем ) в ячейке G13 сделать вывод о предпочтении гипотезы или выбранной альтернативы

Результаты расчетов записать в следующую таблицу:

F G H I

№		2006	2007	Разность
1	Среднее	Значение	Значение	Значение
2	ст.откл	Значение	Значение	Значение
3	объем выборки	Значение	Значение	Значение
4	ош средн			Значение
5
6	статистика Стьюдента	Значение
7		Значение
18
19	Гипотеза	Альтернатива
110	не изменилось	Стало меньше
111	Вывод	Принимается гипотеза/альтернатива

Задача 3.2.

Ниже приведены сведения о мерах наказания, примененных в судах РТ за 1998-2001 гг.

№	Лишение свободы	Количество осужденных
		1998	1999	2000	2001
1	до 1 года	741	820	688	714
2	св. 1 до 2 лет	1560	1525	1135	1440
3	св. 2 до 3 лет	1816	1856	1526	1623
4	св.3 до 5 лет	2395	2168	2742	2689
5	св.5 до 8 лет	1262	1189	1255	1353
6	св. 8 до 10 лет	370	326	354	431
7	св. 10 до 15 лет	237	256	277	307
8	св. 15 до 20 лет	45	83	82	78
9	св. 20 до 25 лет	0	12	26	16
110	св. 25 до 30 лет	0	0	1	0
111	Пожизненное лишение свободы	2	2	5	5

Проверить значимо ли отличаются средние значения приведенных выборок за различные годы (по выбранным парам столбцов)