Литература

1. В.Е. Гмурман Теория вероятностей и математическая статистика, 9-е изд, стер.М.: Высш. шк., 2003- 480с.

2. В.Е. Гмурман Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике, 7-е изд, дополн.М.: Высш. школа, 2003- 480с

3. Г.П.Горелова, И.А.Кацко Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением EXCEL, Ростов н/Д, «Феникс», 2006.- 478с.

4. С.В. Симушкин Теоретические аспекты заданий курсового проекта по математической статистике, методическая разработка - Казань: Казанский госуниверситет, 2004.- 68с.

5. С.В. Симушкин Как выполнить курсовой проект по математической статистике в EXCEL, методическая разработка - Казань: Казанский госуниверситет, 2004.- 78с.

6. Г.Б. Русинов Методические указания, планы и задания для практических занятий по правовой статистике (для студентов очной формы обучения), Казань, Изд-во КГУ, 2007.-29с.

7. В.С. Балинова Статистика в вопросах и ответах: Учебное пособие. – М. ТК Велби, Изд-во Проспект, 2004.- 344с.

8. Г.И. Корнилов Математическая статистика, конспект лекций, 1997

9. С.А.Айвазян, В.С.Мхитарян Прикладная статистика, основы эконометрики, том 1,М., Юнити, 2001, 656с.

10. А.И. Орлов Прикладная статистика, М. изд-во «Экзамен», 2004

11. Н.Я.Сотникова Первоапрельский задачник по теории вероятностей для студентов нематематиков, http://www.astro.spbu.ru/staff/nsot/Teaching/tver/zadachi.html

Элементы теории вероятностей

Математическим основанием методов, используемых при решении статистических задач, является теория вероятностей. Поскольку студенты юридического профиля не проходят отдельно курс теории вероятности, в этом разделе приводятся некоторые определения и результаты из теории вероятностей, которые необходимы для понимания подходов и методов решения статистических задач.

Случайное событие и вероятность

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее и в котором наблюдается устойчивость в появлении относительного числа событий.

Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которых в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.

Например, при многократном подбрасывании монеты результат подбрасывания зависит от многих факторов: от силы броска, от скорости вращения, от того, какой стороной лежит монета в момент броска, и т.д.

Результатом испытания является элементарное событие. Множество всех элементарных событий образует пространство элементарных событий. Под сложным событием (далее просто событие) понимается произвольное подмножество множества элементарных событий. Например, при подбрасывании симметричного кубика пространство состоит из элементарных событий , каждое из которых нумерует определенную грань кубика. В качестве событий можно рассматривать событие выпадения нечетной грани или выпадение числа очков более 3 ( ), или выпадение четной грани , выпадение какой либо грани ( ).

Наблюдаемые события разбиваются на следующие три класса:

• Достоверные – события, которые обязательно происходят, если будет осуществлена определенная совокупность условий; Примером достоверного события является событие , которое состоит из всех элементарных событий.

• Невозможные – события, которые никогда не происходят, если будет осуществлена определенная совокупность условий; В частности мы никогда не наблюдаем событие, что при подбрасывании кубик становится на ребро. Для обозначения невозможного события используется символ .

• Случайные – события, которые при осуществлении определенной совокупности условий могут как произойти, так и не произойти. Примерами случайных событий являются события и (В дальнейшем, для обозначения событий будем использовать заглавные символы латинского алфавита).

С обытия удобно изображать графически в виде рисунка, который называется диаграммой Венна. Обычно пространство элементарных исходов  изображают в виде прямоугольника, а множество элементарных исходов, благоприятствующих событию A в виде эллипса. Такие рисунки называются диаграммами Венна. Сами исходы на диаграммах Венна не изображаются, а информация о соотношении между их множествами содержится в расположении границ соответствующих областей.

Сложное событие наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло некоторое элементарное событие, входящему в это сложное событие. Например, выпадение грани с номером “4” влечет наступление событий , и . Имея некоторый набор событий можно по определенным правилам строить новые события.

Дополнением события - называется событие, включающее в себя все элементарные исходы, не содержащиеся в . Например, событие С является дополнением события ( ).

С уммой(объединением) двух событий и является событие . Событие состоит из всех элементарных событий, входящих в или в . При этом если элементарное событие входит одновременно в , и в , то в объединение оно входит один раз. Для наших примеров . Аналогично сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят, по меньшей мере, в одно из событий . Приведем еще один пример объединения событий. Пусть два стрелка стреляют в мишень одновременно, и событие состоит в том, что в мишень попадает 1-й стрелок, а событие – в том, что в мишень попадает 2-й. Событие означает, что мишень поражена, или, иначе, что в мишень попал хотя бы один из стрелков.

Произведением (пересечением) событий и называется событие .¹ Событие состоит из всех тех элементарных исходов, которые принадлежат одновременно и , и . Например, в приведенном выше примере со стрелками, пересечение событий и состоит в событии, что оба стрелка одновременно поразили цель.

Р азностью событий и называется событие , состоящее из всех исходов события , не входящих в событие . В случае нашего примера .

С обытие включается в событие , если любой элементарный исход, содержащийся в также содержится и в . Включение событий обозначается . В случае строго включения, имеем . В этом случае говорят, что событие влечет событие . Например, событие выпадения одинаковых очков при бросании двух костей, вкладывается в событие, что сумма очков на выпавших костях - четна².

События и называются противоположными или дополнительными друг к другу, если они несовместны (не могут выполняться одновременно) и их объединение достоверно: , .

Полной группой событий называется конечный набор или счетная последовательность попарно несовместных событий , объединение которых достоверно:

,

Квантор означает, что условие выполняется для любого , отличного от . В результате эксперимента обязательно произойдет одно и только одно из событий, составляющих полную группу. Любое событие вместе со своим дополнением образует полную группу событий. В частности всевозможные элементарные события по отдельности образуют полную группу событий. События , и также образуют полную группу событий для эксперимента подбрасывания игральной кости.

Множество событий вместе с набором перечисленных выше операций образуют алгебру событий. Используя операции этой алгебры можно строить достаточно сложные по своей структуре события. При этом одно и то же событие может быть выражено различными формулами. Формулы, которые выражают одинаковые события, называют эквивалентными и соединяют знаком равенства. Например, , .