Задание 4. Интервальные оценки

При анализе выборочных данных можно вычислять выборочные характеристики, которые сами являются значениями случайных величин и могут изменяться в зависимости от выборки. Истинное значение соответствующей характеристики при этом остается неизвестным и не может быть, вообще говоря, точно определено. Поэтому для выборки заданного (особенно небольшого) объема весьма важным является описание интервала, в котором с разной степенью надежности находится неизвестное нам значение. Соответствующие оценки называются интервальными, а построенный интервал называется доверительным. Для построения доверительного интервала необходимо выполнение ряда условий о принадлежности распределения к определенному классу. Ниже рассматривается достаточно часто встречающаяся задача о построении доверительного интервала для среднего значения неизвестной случайной величины в предположении, что эта случайная величина распределена по нормальному закону. При этом исследователь должен заранее зафиксировать вероятность получения ошибочного результата.

Построение доверительного интервала для среднего предполагает нахождение границ и , которые удовлетворяют неравенству . Указанная формула означает, что интервал с вероятностью накроет неизвестное значение . Величина называется надежностью интервала и выбирается обычно в пределах от 90% до 99%, причем, чем больше величина , тем шире получается доверительный интервал и хуже точность оценки. Задача построения доверительного интервала с заданной точностью и надежностью может быть решена только при достаточно большом объеме выборки.

Задача 4.1.

Имеется выборка из нормального распределения. Необходимо построить 95% доверительный интервал (верхнюю и нижнюю границы) для неизвестного среднего этого распределения.

3,9	4,1	4,19	4,09	3,9	4,87	4,51	4,52	4,94	4,83	4,65	3,55	4,29	4,62
3,8	5,26	4,58	4,7	4,32	3,49	3,81	5,13

Необходимо выполнить следующие действия:

1. По выборочным данным находится среднее и выборочная дисперсия

2. Вычисляется стандартная ошибка среднего

,

где - объем выборки

3. Находится квантиль распределения Стьюдента

4. Строятся доверительные границы

Результаты вычислений оформить в виде следующей таблицы

характеристика		значение	Формула	Встроенная функция
среднее		Значение среднего		=СРЗНАЧ()
Дисперсия		Значение дисперсии		=ДИСПР()
Станд отклон		Значение ст. отклонения		=СТАНДОТКЛОНП()
Ошибка среднего		Значение
Количество		Количество данных		СЧЕТ()
Уровень		0,050
Надежность Q		%
Квантили		Вычисленное значение		СТЮДРАСПОБР(
доверительный интервал		значение

Найти 95% ( ) доверительный интервал для задачи 4.1.

Изменить значение в большую сторону ( ) и в меньшую сторону ( ) и проанализировать, как изменяются границы доверительного интервала для заданного уровня надежности.