2.3. Теплопроводность цилиндрической стенки

1. Однородная стенка. Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной l, с внутренним радиусом r1 и внешним r2. Коэффициент теплопроводности материала λ постоянен. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах t1 и t2, причем t1 > t2 (рис. 2.4.) и температура изменяется только в радиальном направлении r. Следовательно, температурное поле здесь будет одномерным, а изотермические поверхности цилиндрическими, имеющие с трубой общую ось. Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной dr, ограниченный изотермическими поверхностями.

Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу времени через этот слой, равно:

(2.17)

Разделив переменные, имеем:

(2.18)

После интегрирования уравнения (2.18) находим:

(2.19)

Подставляя значения переменных на границах стенки (при r = r1, t = t1 и при r = r2, t = t2) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу:

(2.20)

Следовательно, количество теплоты, переданное в единицу времени через стенку трубы, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ, длине l и температурному напору и обратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего диаметра трубы d2 к внутреннему d1.

Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины l, либо к единице внутренней F1 или внешней F2 поверхности трубы. При этом расчетные формулы соответственно принимают следующий вид:

(2.21)

(2.22)

(2.23)

Так как площади внутренней и внешней поверхностей трубы различны, то различными получаются и значения плотностей тепловых потоков q1 и q2. Взаимная связь между ними определяется соотношением

или

Уравнение температурной кривой внутри однородной цилиндрической стенки выводится из уравнении (2.19). Подставляя сюда значения Q и С, имеем:

(2.24)

Следовательно, в этом случае при постоянном значении коэффициента теплопроводности λ температура изменяется по логарифмической кривой (рис. 2.4.).

2. Многослойная стенка. Пусть цилиндрическая стенка состоит из трех разнородных слоев. Диаметры и коэффициенты теплопроводности отдельных слоев известны, их обозначения смотреть на рис. 2.5. Кроме того, известны температуры внутренней и внешней поверхностей многослойной стенки t1 и t4. В местах же соприкосновения слоев температуры неизвестны, обозначим их через t2 и t3.

При Стационарном тепловом режиме через все слои проходит одно и то же количество теплоты. Поэтому на основании уравнения (2.21) можно написать:

;

; (2.25)

.

Из этих уравнений определяется температурный напор в каждом слое:

;

; (2.26)

.

Сумма этих температурных напоров составляет полный температурный напор. Складывая отдельно левые и правые части системы уравнений (2.26), имеем:

(2.27)

из этого уравнения определяем значение линейной плотности теплового потока q:

(2.28)

По аналогии с этим можно написать расчетную формулу для n-слойной стенки

(2.29)

Значения неизвестных температур t2 и t3 поверхностей соприкосновения слоев определяются из системы уравнений (2.26):

;

. (2.30)

Согласно уравнению (2.24), внутри каждого слоя температура изменяется по логарифмическому закону, а для многослойной стенки в целом температурная кривая представляет собой ломаную кривую (рис. 2.6.).