Статистическое планирование эксперимента

Лектор Князев С.Ю.

Эксперимент и его виды.

Экспериментом называют метод познания, при помощи которого в контролируемых и управляемых условиях исследуются явления действительности.

Эксперимент отличается от наблюдения активным оперированием с изучаемым объектом. Существуют разные типы эксперимента. Простейшим из них является качественный эксперимент, имеющий целью установить наличие или отсутствие некоторого фактора. Измерительный эксперимент выявляет количественную определенность, какого либо объекта.

Для прикладных целей важное значение имеет модельный эксперимент, который ставится на материальных моделях. Назовём оптимизирующий эксперимент. На результаты эксперимента влияет значение различных параметров и факторов. В зависимости от числа этих факторов эксперименты бывают одно-, двух- и многофакторные. Чем больше факторов, тем эксперимент сложнее. При проведении эксперимента надо уменьшать число факторов.

Для повышения эффективности эксперимента его надо планировать, а целью планирования является определение условий и методов, обеспечивающих наибольшую его эффективность. Высокую точность измерений при наименьших материальных и трудовых затратах.

Прежде всего, необходимо определиться относительно числа и типа действующих факторов, по возможности уменьшив это число. Одним из эффективных методов в этом случае является использования метода размерностей или критериального анализа.

Метод размерности.

Прежде всего, определяется совокупность регулируемых и не регулируемых фундаментальных переменных которые определяют в течении изучаемого процесса (деление параметров на регулируемые и не регулируемые зачастую носит условный характер). Из набора фундаментальных переменных строятся безразмерные параметры называемые критерием подобия. Численные значения этих параметров нередко определяют режим исследуемого процесса, поэтому для некоторых из этих параметров имеют специфическое название. Например, характер течения жидкости по трубе зависит от скорости жидкости, от диаметра трубы и от свойств жидкости. Эти параметры являются фундаментальными факторами.

Из этих параметров мы можем сконструировать безразмерную величину: число Рейнольдса

Оказывается, что режим течения жидкости зависит от числа Рейнольдса:

• Если Re << 1 то движение жидкости ламинарное

• Если Re >> 1 то движение жидкости турбулентное

Оказывается, что практически всегда исследуемый процесс можно описать с помощью небольшого числа безразмерных параметров.

Применения критериального анализа основано на теореме Букенгема, согласно которой из набора фундаментальных переменных всегда можно построить безразмерные параметры, а связь между фундаментальными переменными сводится в связи между безразмерными параметрами.

Рассмотрим пример: предположим исследуется задача колебания математического маятника. Фундаментальными параметрами этой задачи являются t, φ, l, m, g. Эти параметры размерные, но из них можно получить 2 безразмерных параметра:

Другие безразмерные параметры сконструировать нельзя. Масса не входит ни в один из безразмерных параметров, поэтому она не влияет на показания. Исследования колебаний маятника сводится к получению зависимости:

φ=φ(t, l, m, g)

Но применяя теорему Букенгема мы найдём, что эта зависимость сводится к

П1=φ(П2)

Предположим t=1/4T, в этом случае φ=φ₀ – амплитуда колебаний маятника

Обращаем эту зависимость и получаем

Отсюда

Для проведения большого числа экспериментов требуется проведение различных измерений, а на результат измерения действует множество факторов. Часть из этих факторов учитывается при проведении это основные факторы, но существует громадное множество факторов, которые при проведении эксперимента не учитывают. Это второстепенные, случайные факторы, хотя действие этих факторов в общем случае мало, тем не менее, они оказывают некоторое влияние на результаты измерений. Действие этих факторов совершенно непредсказуемо.

Вследствие действия случайных факторов результат измерения так же не является случайной величиной, а это требует применения особых методов при обработке результатов измерений. Необходимым элементом планирования эксперимента является корректная обработка результатов измерений т.к. результат измерений есть случайная величина, то прежде чем изучать способы обработки результатов измерений необходимо познакомится со свойствами случайных величин.

Случайные величины и их характеристики.

Случайными называют величины, принимающие в результате измерений (испытаний) принципиально непредсказуемые численные значения. Случайные величины характеризуются набором допустимых значений в зависимости от числа допустимых значений. Различают: конечнозначные, дискретные, непрерывные случайные величины.

Для характеристики случайных величин необходимо знать, какие значения, и как часто, т.е. с какой вероятностью она может принимать, т.е. нужно знать закон распределения этой величины. Вероятностью называется количественная характеристика возможности наступления некоторого события (А) при определённых воспроизводимых условиях. Каждая реализация этих условий, возможно мысленная, называют экспериментом, опытом, испытанием, измерением, наблюдением.

Наблюдая событие А при испытании называют благоприятным исходом, а не наступлении не благоприятный.

Существует 2 тождественных определения вероятности: классическая и статистическая. Согласно классическому определению Р(А) называют соотношение числа m благоприятных исходов к числу равновероятных исходов n:

Это определение применимо, если общее число равновесных исходов, согласно статистическому определению