Свойства дисперсии

1) DX не изменяется , если все её значения не меняя их вероятности увеличить или уменьшить на одно и то же число D(X+a)=DX, D(X-a)=DX

2) Если все значения X увеличить или уменьшить на один и тот же множитель, то DX увеличивается или уменьшается на квадрат этого множителя D(aX)=a²DX

3) DX суммы независимых СВ равна сумме дисперсий этих величин D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)

4) квадратный корень из DX есть среднеквадратичное отклонение

5) DX может рассматриваться как один из моментов второго порядка X

Моментом порядка к непрерывной X с ρ распределение f(x) называется величина:

аналогично можно ввести понятие момента для дискретной и конечнозначной Х. Момент первого порядка m₁=0, момент второго порядка есть DX, m₂=DX, момент 3 порядка характеризует симметрию распределения Х. Для Х , симметрично распределённой около МХ, момент третьего порядка равен 0, а если m₃ не равен 0, то распределение ассиметрично. Момент 4-го порядка характеризует крутизну функции распределения (с сравнении с нормальным распределением) . Для конечных СВ МХ равно среднему арифметическому значению МХ=х_ср=Σx_i/n.

Средний элемент распределения слева и справа от которого расположено одинаковое число элементов (если число элементов нечётное) называется медианой. Если число элементов чётное, то медиана равна полусумме двух средних. Медиану как и среднее значение можно в равной степени использовать для оценки истинного значения. При проверке однородности результатов измерений используют размах(разность между наибольшим и наименьшим элементами); наибольшее разность между элементом и средним; МОДА – это элемент с наибольшим числом повторений. Важнейшей характеристикой СВ, заданным её распределением называется квантиль или процентная доля квантилем х_р СВХ с функцией распределения F(x) называют такое значение СВ, для которого F(x_p)=p.

Квантилем х_р СВХ называют такое значение СВ, для которого P{x<x_p}=p. Квантиль зависит от вероятности. Медианой является квантиль соответствующий вероятности ½.

Полную характеристику СВ дают только F(x) и f(x).

Нормальное распределение

MX, DX, моменты, квантили и др. характеристики параметры СВ не дают её полной характеристики, т.к. при заданных значениях параметров СВ могут обладать различным законом распределения. Среди разных типов распределений, один тип встречается чаще всего и поэтому имеет важнейшее значение, этот тип называется нормальным. Исключительная роль нормального распределения следует из предельных теорем теории вероятности Лапласа и Ляпунова. Согласно этим теориям СВ имеет нормальное распределение, если она представляет собой сумму большого числа (бесконечно большого) независимых СВ, максимальное из которых мала по сравнению со всуй суммой. Так как на результат измерений влияет очень большое число второстепенных случайных факторов, каждый из которых оказывает малое влияние, то результат измерений есть случайная величина, имеющая нормальное распределение. Отклонение результата измерения от истинного значения есть погрешность измерения.

Распределение случайной величины Х будет нормальным, если плотность распределения f(х) определяется формулой:

Соответственно функция нормального распределения:

где а и σ – параметры нормального распределения.

Нормальное распределение полностью определяется значением этих параметров. Можно показать, что для нормального распределения а = Мх, а σ²=Dх. Среднее квадратичное отклонение нормального распределения σ называется стандартом. График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (х1, х2) равна:

Вместо нормального распределения с произвольными значениями а и σ удобно ввести нормальное распределение с а=1 и σ=0, такое распределение называется стандартным.

Случайная величина Х₀, имеющая стандартное распределение называется нормирование. Для нормированной случайной величины

P{x₁<x<x₂}=Ф(х₂)-Ф(х₁)

где

Таблица функции Лапласа используется для определения случайной величины.

Если случайная величина Х имеет нормальное распределение, с Мх=а и стандартом σ, то

будет нормированной. Следовательно, вероятность того, что абсолютные отклонения случайной величины от некоторого заданного значения ε равна:

Вероятность того, что абсолютное отклонение нормально распределенной случайной величины не превзойдет некоторого предела, зависит от того, во сколько раз этот предел больше стандарта рассматриваемой величины.

∆х=‌‌‌‌│х-Мх│

ε/σ=k => ε=kσ

Р{∆x<kσ}=2Ф(k)

Из таблицы известно значение функции Лапласа в частности при К=1,2,3. От сюда получим, что

Р{∆x<σ}=2Ф(1)≈0.68

Р{∆x<2σ}=2Ф(2)≈0.95

Р{∆x<3σ}=2Ф(3)≈0.997

Запишем удобные для запоминания правила:

1. Вероятность стандартного отклонения равна 2/3~0,68.

2. Вероятность удвоенного отклонения равна удвоенному стандарту и равна 95% (правило 2σ).

3. Вероятность отклонения равная утроенному стандарту превосходит 99% (правило 3σ).

Отсюда вывод: отклонение, превышающее утроенный стандарт практически невозможен.

В литературе приводят таблицы квантилей нормального распределения. Квантиль общего нормального распределения можно найти с помощью формулы: