Доверительные интервалы и вероятность

Целью измерений является получение оценки истинного значения измеряемой величины. Для этого измерения производятся несколько раз. Результаты измерений образуют выборку. Мы можем представить, что есть генеральная совокупность абсолютно всех возможных результатов измерений. Истинное значение измеряемой величины есть характеристика этой генеральной совокупности – генеральное среднее.

Другой важной характеристикой является генеральная дисперсия. Мы же производя n-измерений извлекаем из генеральной совокупности n значений и получаем выборку. В качестве оценки генерального среднего используется среднее выборки:

Так как выборка производится случайным образом, то среднее выборки также является числом случайным, но мат. ожидание для среднего равно мат. ожиданию генеральной совокупности

Дисперсия для среднего значения в n раз меньше, чем D для генеральной совокупности

Оценка отклонений результатов измерений от истинного значения носит вероятностный характер. Вероятность того, что отклонение ∆Х от истинного значения не превзойдет некоторую величину Е, выражается через функцию распределения и плотность распределения

Можно поступить обратным образом, а именно, по заданной вероятности Р определить границы х1 и х2 таким образом, что оценка для генерального среднего х1≤х0≤х2 выполнялась с вероятностью P. Эта задача имеет бесчисленное множество решений. Вероятности р соответствует оценка вида

где α – любое число от 0 до 1-р

х_α – квантиль распределения случайной величины Х, соответствующей вероятности α. Проверим, что это соотношение выполняется с вероятностью Р.

Обычно для оценки генерального параметра берутся симметричные квантили. В этом случай будет справедлива оценка

Оценка любого параметра является не абсолютно достоверной, а вероятной. При оценке используют понятие практической достоверности. Уровень достоверности называется доверительной вероятностью. Наиболее часто используют доверительные вероятности 0,95 и 0,99.

Проверка статистических гипотез

Предположим для некоторой величины, например, для результата измерений отклонения от среднего превышает некоторое значение ε практически не возможно. Допустим далее, что производится наблюдение и получаем реальное отклонение ε_i . Какой вывод можно сделать из полученного результата. При производстве таких оценок используется уровень значимости. Уровень значимости есть максимальная вероятность того, что отклонение превысит ε.

Событие А называется значимым, если его вероятность больше, чем некоторый принятый уровень значимости. Наиболее часто употребляются уровни значимости 0,05 и 0,01.

Числа х_р/2, и х_1-р/2 являются критическими для гипотезы значения величины Х. Предположим, производятся измерения получаются х₀, если х₀ попадает в критическую область, то гипотеза отвергается. Если же х₀ окажется в доверительном интервале, то оснований отвергать гипотезу нет. Принимая решение по результатам измерения, мы можем допустить ошибки двух видов:

1. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается гипотеза которая на самом деле верна (х₀ – попадает в критическую область, мы ее отвергаем, а она верна). Вероятность допустить такую ошибку не выше уровня значимости.

2. Ошибка второго рода состоит в том, что принимается гипотеза, которая на самом деле не верна. Вероятность этой ошибки зависит от характера гипотезы, способа проверки множества других причин, поэтому надежную оценку для вероятности ошибки второго рода получить обычно сложно.

Наиболее часто встречаются гипотезы связанные со сравнением различных выборок. Путь найдены два значения α₁ и α₂ некоторых параметров. Эти значения можно использовать, как оценки генеральных параметров А₁ и А₂ высказывается гипотеза, что различие между α₁ и α₂ чисто случайное. А на самом деле А₁=А₂. такая гипотеза называется нулевой. Для проверки этой гипотезы необходимо узнать значимо ли различие между α₁ и α₂. Для этого можно использовать

∆α=α ₁- α₂

Мы проверяем, значимо ли различие ∆α от 0. Альтернативной нулевой является А₁≠А₂. Эта альтернативная гипотеза распадается на две (А₁>А₂ и А1 <А₂). Бывает случай, когда одна из этих гипотез заведомо не выполняется, тогда альтернативная гипотеза является односторонней. Для односторонней гипотезы принимают односторонний критерий значимости вдвое меньший, чем для неодносторонней, поэтому оценки при данном уровне значимости для односторонней гипотезы будут более точными.