Проверка однородности наблюдений

Для того чтобы полученные ранее оценки были справедливы, необходимо, чтобы все грубые ошибки были выявлены и исключены. Если же результат измерений содержит грубую ошибку, то закон распределения случайной величины изменится и тем самым будет нарушена однородность наблюдения. Грубая ошибка может соответствовать либо максимуму, либо минимуму элементу выборки.

Пусть x это максимальный или минимальный элемент выборки, тогда имеет специальный закон распределения - -распределение. Имеются таблицы квантилей этого распределения. И при уровне значимости p должна быть справедлива оценка .

Если же эта оценка не верна, т.е. , то согласно -критерию x является грубо- ошибочным и его надо исключить из выборки.

Проверка основной гипотезы

Гипотеза о нормальности изучаемого распределения называется основной. Для её проверки используются критерии согласия. Распределение считают нормальным, если параметры распределения соответствуют параметрам нормального распределения. В качестве оцениваемых параметров удобно брать моменты.

Величину

A=m₃/σ³

называют ассиметрией. Для нормального распределения А=0. Эксцесс

.

Для нормального распределения Е=0.

Формулы позволяют производить оценку ассиметрии и эксцесса

Известны дисперсии для выборочных А и Е.

;

.

Если для найденных значений А и Е выполняются следующие условия

,

,

то распределение считаем нормальным, а основную гипотезу справедливой.

Неравенства Чебышева

Отметим, что полученные ранее оценки для средних значений применимы только в том случае, если измеряемая величина имеет нормальный закон распределения. Если же измеряемая величина имеет распределение отличное от нормального, необходимо использовать другие оценки. Например, оценки, основанные на использовании неравенства Чебышева.

Получим это неравенство.

Пусть случайная величина x является непрерывной с плоскостью распределения f(x), тогда по определению дисперсия определяется следующим выражением

Исключим из области интегрирования интервал шириной . Т.к. подынтегральное выражение положительно, то такого исключения правая часть уменьшится, поэтому мы получим

Т.к. в подынтегральных выражениях , то произведя замену

мы ещё более уменьшим правую часть и получим

.

Интегралы в правой части полученного неравенства есть вероятности, что приводит к следующему неравенству

Перепишем полученные неравенства в виде

Используя обозначения MX=a, DX=σ², . И в итоге получим искомое неравенство Чебышева:

Величину 1/k² принимаем за уровень значимости, и неравенство Чебышева приводит к следующей оценке для генерального среднего

.

Эта формула используется для оценки генерального среднего по единому измерению.

Для того чтобы повысить точность оценки производится не одно измерение, а несколько и находится среднее значение Х, т.к. D для среднего значения уменьшается в n раз, то в этом случае выражение необходимо заменить на и мы получаем следующую оценку.

, по выборке.

Если используется уровень значимости 0.05, то