Тема: « Дисперсионный анализ».

Ранее предполагалось обработка данных, измерений с целью нахождения генерального среднего и точности метода, мерой чего является дисперсия.

Другая задача возникает когда на результат измерений влияют один или несколько факторов. В этом случае возникает вопрос связанный со значимостью этого влияния.

Важен так же вопрос о степени этого влияния о его качественных и количественных характеристиках. Будем предполагать, что случайные ошибки имеют нормальное распределение. Влияние изучаемых факторов может быть двояким, либо они могут изменять D наблюдения. Будем предполагать, что дисперсия измерения остаётся не изменой.

Пусть изучается фактор А, на нескольких уровнях А, А1,А2,…,Ак. Пусть каждому уровню соответствуют истинные значения а1,а2,..,ак.

В качестве меры влияния фактора А можно использовать величину

чем больше эта величина, тем влияние фактора А сильнее. По своей структуре эта величина является дисперсией (фактора А). На самом деле эта величина не дисперсия, потому что ai и - это не случайные, и дисперсия не случайная.

Т.к. истинные значения нам известны, то точные значения дисперсии мы найти не можем, а мы можем их только оценить. Для этого мы производим серию измерений на разных уровнях фактора А и вычисляем величину

Значение величины зависит от случайных ошибок (характеризуется дисперсией ) и от влияния фактора А, которое характеризуется дисперсией фактора А

отсюда

Влияние фактора А можно считать значимым если оценка для значимо отличается от нуля, т.е. если значимо отличается от . Для этого т.е. для определения значимости различия дисперсий используется критерий Фишера.

Если выполняется такое условие, то это свидетельствует о значимости влияния фактора А.

Целью дисперсионного анализа является установление значимости факторов по их дисперсиям.

Поскольку обычно генеральная дисперсия для случайной ошибки не известна, то использование этого выражения для оценки влияния фактора затруднительно. Необходимо организовать вычислительный процесс таким образом, чтобы величины и оценивались из результатов измерений.

Однофакторный дисперсионный анализ

Рассмотрим случай когда заранее неизвестна, пусть изучаемый фактор, фактор А рассматривается на k уровнях, причём на каждом уровне производится n измерений. Результаты измерений записывается в таблицу

- это результат j-го измерения при i-ом значении фактора А.

№ измерений	Уровень фактора А
	А1	А2	А3	….	Аk
1 2 3 . . . N	. . .	. . .	. . .	. . . . . . . . .	. . .
Итоги				….

Среднее всех наблюдений по всем уровням мы обозначим:

,

общая выборочная дисперсия

характеризует как фактор случайность, так и влияние фактора А . Построим выборочные дисперсии на величину которых влияет только случайный фактор. Например для каждого уровня фактора А можно построить величину

Эти величины характеризуют фактор случайность, если между этими величинами нет значимого различия, то в качестве оценки генеральной дисперсии можно использовать величину

мы получим две величины характеризует влияние фактора А и случайность, и характеризует только случайность.

В качестве оценки дисперсии фактора можно взять величину

Из этого соотношения следует, что фактор А будет считаться значимым если различия между дисперсиями и - значимо для этого может использоваться критерий Фишера.

Проверяется соотношение

Если это условие выполняется, то фактор А считается значимым, а в противном случае нет оснований фактор а значимым.

Чувствительность этого критерия невелика, с помощью этого критерия слабее влияние фактора А можно не обнаружить.

Получим более точную оценку для дисперсии фактора А. Влияние фактора А более заметно по изменению средних на отдельных уровнях, т.к. дисперсия случайности для средних значений будет в n меньше.

Но случайные колебания проявляются на этой величине

Введём обозначение

отсюда следует, что фактор А будет значим если выполняется неравенство