Планирование полного факторного эксперимента.

Рассмотрим планирование факторного эксперимента на примере более простой и наиболее часто используемой полиномиальной модели. Если число факторов k, то для полного факторного эксперимента требуется 2^k опыта. Условия эксперимента записываются в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов, такие столбцы называются матрицами планирования. Построим матрицу планирования для 2-х факторов:

№ опыта	Х1	Х2	У
1	+1	+1	У1
2	-1	+1	У2
3	+1	-1	У3
4	-1	-1	У4

Матрица планирования состоит из вектор-столбцов и вектор-строк. С ростом числа факторов k возникает необходимость в разработке правил построения матриц. На практике используется 3 приема, основанные на переходе от матриц меньшей размерности к матрицам большей. В этом случае записывается исходный план для значения +1 нового фактора, а затем повторяется план для другого значения (-1) нового фактора.

Используя таблицы получим план для 3-х факторов:

1. способ

№ опыта	Х1	Х2	Х3	У
1	+1	+1	+1	У1
2	-1	+1	+1	У2
3	+1	-1	+1	У3
4	-1	-1	+1	У4
5	+1	+1	-1	У5
6	-1	+1	-1	У6
7	+1	-1	-1	У7
8	-1	-1	-1	У8

Существуют другие способы построения планов эксперимента. Правило перемножения столбцов матриц, то есть вместо столбца Х3 строится столбец Х1Х2

2. способ

№ опыта	Х1	Х2	Х3	У
1	+1	+1	+1	У1
2	-1	+1	-1	У2
3	+1	-1	-1	У3
4	-1	-1	+1	У4
5	+1	+1	-1	У5
6	-1	+1	+1	У6
7	+1	-1	+1	У7
8	-1	-1	-1	У8

Правило чередования знаков: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором – через 2, в третьем – через 4, и т.д.

3. способ

№ опыта	Х1	Х2	Х3	У
1	+1	+1	+1	У1
2	-1	+1	+1	У2
3	+1	-1	+1	У3
4	-1	-1	+1	У4
5	+1	+1	-1	У5
6	-1	+1	-1	У6
7	+1	-1	-1	У7
8	-1	-1	-1	У8

Матрицы планирования обладают следующими свойствами:

1. симметричность относительно центра эксперимента – это значит, что для каждого фактора алгебраическая сумма элементов вектора столбца = 0 :

2. условие нормировки: сумма квадратов элементов каждого столбца = числу опытов:

3. ортогональность матриц: сумма почленных произведений любых

2-х различных столбцов = 0:

4. Ротатабельность – это свойство означает, что точность выходного параметра, то есть точность величины У одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

Правильно составленная матрица эксперимента должна обладать всеми четырьмя перечисленными свойствами.

Для нахождения коэффициентов линейной модели, к примеру У=а₀+а₁х₁+а₂х₂+а₃х₃, используется формула

Чтобы все коэффициенты модели вычислялись по одной формуле, в матрицу планирования удобно ввести фиктивную переменную х₀, которая во всех опытах принимает значение +1, т.е. х₀ = +1.

Для 3-х факторов:

а₀ = 1/8(у₁+у₂+…+у₈) – среднее арифметическое;

а₀ = 1/8(у₁-у₂+ у₃-у₄+…-у₈);

а₀ = 1/8(у₁+у₂- у₃-у₄+…-у₈);

а₀ = 1/8(у₁+у₂+ у₃+у₄-у₅-у₆- у₆-у₇-у₈).

Значение коэффициентов а_i соответствует вкладу фактора в силу его влияния, чем больше значение а_i, тем больше влияние фактора “i”.

При планировании эксперимента, на первом этапе мы стремимся получить линейную модель. Если результат окажется неудовлетворительным, то необходимо учитывать нелинейные эффекты. Полный факторный эксперимент, типа 2^k позволяет оценить эффект взаимодействие факторов. Для этого, пользуясь примером перемножения столбцов, получают столбец произведения 2-х факторов.

При вычислении коэффициентов, с этим столбцом образуется как с вектор столбцом любого фактора.

Например, при планировании ПФЭ 2²

№ опыта	Х1	Х2	X1+Х2	У
1	+1	+1	+1	У1
2	-1	+1	-1	У2
3	+1	-1	-1	У3
4	-1	-1	+1	У4

Например, при ПФУ 2³ можно получить мат. модель в виде:

_{У=а0+а1х1+а2х2+а3х3+ а12х1 х2+а13х1 х3+а23х2 х3+ а123+ х1 х2 х}3

№ опыта	Х0	Х1	Х2	Х3	Х1Х2	Х1Х3	Х2Х3	Х1Х2Х3	У
1	+	+	+	+	+	+	+	+	У1
2	+	-	+	+	-	-	+	-	У2
3	+	+	-	+	-	+	-	-	У3
4	+	-	-	+	+	-	-	+	У4
5	+	+	+	-	+	-	-	-	У5
6	+	-	+	-	-	+	-	+	У6
7	+	+	-	-	-	-	+	+	У7
8	+	-	-	-	+	+	+	-	У8

а₀ = 1/8(у₁+у₂+…+у₈);

а₁= 1/8(у₁-у₂+ у₃-у₄+у₅-у₆+у₇-у₈);

а₂= 1/8(у₁+у₂- у₃-у₄+у₅+у₆-у₇-у₈);

а₃ = 1/8(у₁+у₂+ у₃+у₄-у₅-у₆-у₇-у₈);

а₁₂ = 1/8(у₁-у₂- у₃+у₄+у₅-у₆-у₇+у₈);

а₁₃ = 1/8(у₁-у₂+ у₃-у₄-у₅+у₆-у₇+у₈);

а₂₃ = 1/8(у₁+у₂- у₃-у₄+у₅-у₆+у₇+у₈);

а₁₂₃ = 1/8(у₁-у₂- у₃+у₄-у₅+у₆+у₇-у₈).

Эффекты Х1Х2, Х1Х3, Х2Х3 – называются коэффициентами парного взаимодействия, или взаимодействий первого порядка.

Эффект Х1Х2Х3 – это эффект взаимодействия второго порядка.

Эффект максимального порядка = k-1. полное число коэффициентов a_j = числу опытов полного факторного эксперимента. Ортогональные матрицы позволяют получить независимые оценки для всех коэффициентов. Это справедливо только для линейных моделей. Если же модель, например, квадратичная, то в этом случае столбец для х₀ будет совпадать со столбцами х₁² х₂² и т.д..

В результате мы не можем сказать за счет чего, получается значение для a₀. оценка a₀ оказывается смещенной и кроме того a₀ включает в себя вклады всех квадратичных оценок. Это символически записывается в виде

a₀ β₀₊∑ β_ii

Если квадратичные слагаемые не значимые мы значение квадратичных слагаемых можем отбросить, и тогда оценка получится не смешанной. Для квадратичной модели оценки всех коэффициентов кроме a₀ – несмешанные.

Вывод: полный факторный эксперимент, типа 2^k позволяет учесть линейные эффекты и эффекты взаимодействия.