Дробный факторный эксперимент

Число опытов полного факторного эксперимента превышает число экспериментов линейной модели, причем чем больше факторов, тем сильнее это превышение, поэтому при использовании линейной модели возможно сокращение числа опытов. При этом матрица планирования эксперимента должна сохранять все свои основные свойства:

2² У=а₀+а₁х₁+а₂х₂

№ опыта	Х0	Х1	Х2	Х3	У
1	+	+1	+1	+	У1
2	+	-1	+1	-	У2
3	+	+1	-1	-	У3
4	+	-1	-1	+	У4

а₀ = ¼(у₁+у₂+у₃ + у₄)

а₀ = ¼(у₁-у₂+у₃ - у₄)

а₀ = ¼(у₁+у₂-у₃ - у₄)

а₀ = ¼(у₁-у₂-у₃ + у₄)

Использование этой модели возможно, эффект взаимодействия Х1Х2 не значим. Оценим для экспериментов ДФЕ является ли смешанным. В данном случае вектор-столбец для Х3 совпадает со столбцом Х1Х2, кроме того,…

Чумаченко

вектор-столбец х₁ совпадает со столбцом х₂х₂, а столбец х₂ совпадает со столбцом х₁х₃. Отсюда следует что оценки для коэффициентов а_1, а_2, а₃ являются смешанными, а именно:

Мы получили линейную модель в виде:

у=а₀+а₁х₁+а₂х₂+а₃х₃

Если модель линейная, то все парные взаимодействия не значимы и оценки для коэффициентов а_1, а_2, а₃ будут достоверными.

В результате количество опытов в трехфакторном эксперименте сократилось в 2 раза, с 8 до 4.

Чтобы сократилось число опытов новому фактору необходимо присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию которым можно пренебречь. В нашем случае из ПФЭ 2³ получился сокращенный вариант – полуреплика 2^3-1.

Можно построить вторую половину полуреплики, для её коэффициентов будут выполняться такие оценки:

Объединив эти две полуреплики получили ПФЭ 2³.

Для обозначения дробных реплик используются обозначения 2^к-с и называются : полуреплика если 1, четверть если 2.

Пусть проводится ПФЭ 2³ и к факторам х₁, х₂ добавляется третий фактор х₃ при этом существует две возможности либо х₃=х₁х₂, либо х₃=-х₁х₂, при этом получается два различных плана ДФЭ.

Для произведения трех столбцов выполняется соотношение х₁х₂х₃=-1 величина х₁х₂х₃ в данном случае называется определяющий контраст.

Контраст позволяет определить смешанные эффекты.

Чтобы определить какой эффект смешан с данным обе части определенного контраста следует умножить на столбец соответствующий данному эффекту.

Например:

I= х₁х₂х₃

х₁= х₁²х₂х₃= х₂х₃,

х₂= х₁х₂²х₃= х₁х₃,

х₃= х₁х₂х₃²= х₁х₂,

Соотношение показывающее с каким эффектом смешан данный называемый генерирующим соотношением.

Используя генерирующее соотношение можно получить определенный контраст полуреплики. Для этого генеральное соотношение умножается на его левую часть.

х₃= х₁х₂ ; I= х₁х₂х₃

Полуреплики в которых основные эффекты смешаны с двухфакторным взаимодействием, называются планами с разрешающей способностью 3.

Разрешающая способность = наибольшему числу фактору в определенном контрасте.

Для построения плана ДФЭ возможно использование различных генерирующих соотношений, например при выборе полуреплики 2^4-1 возможно 8 решений:

х₄= х₁х₂

х₄= -х₁х₂

х₄= х₁х₃

х₄=- х₁х₃

х₄= х₂х₃

х₄= -х₂х₃

х₄= х₁х₂х₃

х₄=-х₁х₂х₃

Разрешающая способность этих полуреплик различна. Реплики с 1 по 6 имеют 3 фактора в определяющем контрасте.

х₄х₄= х₁х₂х₄

I= х₁х₂ х₄

Разрешающая способность планов 7, 8 = 4.

Разрешающая способность максимальна, если линейные эффекты смешаны эффектами наибольшего порядка. Для плана с 1 по 6 линейные эффекты смешаны с парными взаимодействиями, а для планов 7, 8 с троичными. Обычно в первую очередь можно пренебречь взаимодействиями более высокого порядка, в этом случае более точными будут планы 7, 8. Если же существенны нелинейные эффекты, то ситуация может измениться, в этом случае для выбора наилучшего плана необходимо использовать априорную информацию. Реплики можно строить высокой дробности при этом значительно сокращается количество опытов. Пусть изучается влияние 5 факторов. Для построения линейной модели необходимо определить значения 6 коэффициентов и последовательно выполнить не менее 6 опытов. Ближайшим к 6 является число вида 2^к.

В этом случае необходимо построить ДФЭ 2^5-2 . Для построения плана 2^к-р требуется р генерирующих соотношений для построения плана 2^5-2 требуется 2 генерирующих соотношения. Сначала нужно решить каким взаимодействием можно пренебречь. Одно из генерирующих соотношений х₄= х₁х₂х₃ х₅= х₁х₂ и в результате получается план ДФЭ:

№	Х0	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	У
1	+	+	+	+	+	+	У1
2	+	-	+	+	-	-	У2
3	+	+	-	+	-	-	У3
4	+	-	-	+	+	+	У4
5	+	+	+	-	-	+	У5
6	+	-	+	-	+	-	У6
7	+	+	-	-	+	-	У7
8	+	-	-	-	-	+	У8