Свойства вероятности

1) 0<=P(A)<=1

Если два события А и В несовместимы(их одновременное наступление невозможно), то вероятность события P(AuB)=P(A)+P(B)

Если события А и В независимы, то P(AnB)=P(A)*P(B) это соотношение может быть использовано для проверки независимости событий.

Закон распределения случайной величины(СВ) – это совокупность её значений с указанием их вероятности для конечнозначной СВ закон распределения может быть представлен в виде таблицы, в качестве примера найдём закон распределения суммы очков выпавших на двух игральных кубиках, ясно что эта величина колнечнозначная.

x	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
p	1/36	1/18	1/12	1/9	5/36	1/6	5/36	1/9	1/12	1/18	1/36

n=36

Распределение недискретных величин задавать с помощью вероятностей отдельных событий неудобно. Для распределения СВ в том числе не дичкретной водится функция распределения.

Пусть X это СВ, вероятность того, что СВ примет значение меньшее, чем некоторое x обозначим F(x)=P{X<x}очевидно, что эта вероятность есть функция от значения x, эта функция и есть функция распределения СВ X.

Функция распределения обладает следующими свойствами

1) 0 <= F(x)<=1

2) P{x1<X<x2}=F(x2)-F(x1)

отсюда следует, что F(x) есть функция монотонно-возрастающая. Для конечнозначных и дискретных СВ график функции распределения ступенчатый. Построим график F(x)

производная F(x) называется плотностью распределенияназывается плотностью распределения f(x)=F’(x)=P{x<X<x+Δx}/Δx , из определения f(x) следует:

следовательно для f(x) должно выполняться условие:

Основные числовые характеристики СВ.

Важнейшими характеристиками СВ являются математическое ожидание и дисперсия.

математическое ожидание ДСВ X называют число:

если {x_i} рассматривать как координаты точек, лежащих вдоль стержня а p_i как веса грузов, подвешенных в этих точках, то М(Х) будет совпадать с центром тяжести.

Если все значения x_i равновероятны, то для конечнозначной СВ все p_i=1/n , где n – число возможных исходов. и , т.е. в этом случае M(X) совпадает со средним арифметическим значением СВ.

Этот результат справедлив также для непрерывных и ДСВ.

Свойства математического ожидания.

1) Если все значения СВ не меняя их вероятностей увеличить или уменьшить на некоторое число а, то M(X) изменится на это же число M(X+a)=M(X)+a, a=const.

2) Если все значения СВ не меняя их вероятности увеличить или уменьшить в некоторое число раз, то M(X) увеличится или уменьшится во столько же раз: M(aX)=a*M(X), a=const.

3) M(X) суммы СВ X и Y равна сумме M(X) и M(Y): M(X+Y)=M(X)+M(Y)

4)математическое ожидание произведения неизвестных СВ X и Y равно произведению M(XY)=M(X)*M(Y); X и Y – независимые.

Если представить что значение СВ рассеяны вдоль числовой оси, то математическое ожидание играет роль центра этого рассеивания. Нужна ещё характеристика показывающая как сильно рассеяны значения СВ. Вокруг этого центра, такой характеристикой является дисперсия.

Дисперсия СВХ – M(X) квадрата отклонения этой величины от её мат. ожидания.

D(X)=M(X-MX)²

Для ДСВ дисперсию можно представить:

Если все значения ДСВ равновероятны, то

D(X)=Σ(x_i-MX)²/n

НСВ.

Легко показать, что DX=MX²-(MX)²