1 5. Формулировка принципа максимума в задаче со свободным концом.

x_i=f_i(x,u)

x_i=x_i0

Требуется найти управление U , кот.обеспечивает : Ј=∑c_ix_i(T)→min

Решение такой задачи можно построить просто, если вместо функционала ввести функцию, которая характеризует мощность или энергию системы. Поскольку функционал Ј_i характеризует критерий качества функционирования системы в экстремальных условиях, то эта система должна обладать максимальной мощностью или энергией. Такой функцией характеризующей сумму кинетической и потенциальной энергии системы является ф-ция Гамельтона:

H=∑λ_if_i(x,U), где f_i-вектор колич.движения

∂ λ_j /∂t= -∑ λ_i(∂f_j / ∂x_i) (cумма по j=1..n)

∂ λ_{j (T)}/∂t=-с_j, где с_j- коэфициент функционала Ј

Исходную систему и полученную сопряженную систему можно представить в каноническом виде, продифференцировав ф.Н по λ и по х.

∂Н/∂λ_i=f_i(x,u)

∂H/∂x=∑λ_j∂f_j/∂x_i(cумма по j=1..n)

каноническая форма ур. Гамильтона.

Принцип max: Если упр.uєU доставл. min ф-ла.Ј, то необходимо существование такого вектора λ(t)=( λ₁,λ₂, ..λ_k), что ф.Гамильтона Н при оптимальном управлении достигает max: Н(x₀,u₀, λ₀)=max(uєU) H(x, λ,u)

16. Многокритериальные задачи теории принятия решений. ОзУи метод ее решения.

Современные технические объекты относятся к сложным многокритериальным многорежимным системам, к их функционированию предъявляются жесткие требования. Мы будем рассматривать объекты, которые имеют мат. Модели и описываются соответствующими уравнениями и неравенствами.

Синтезируемое управление и проектируемая система необязательно должны быть оптимальными. Однако требуется, чтобы эти управления обеспечивали заданную точность, надежность, быстродействие и другие технические требования, предъявляемые к объекту, т. е. спроектированная система должна удовлетворительно функционировать во всех заданных режимах и условиях эксплуатации. Это и есть основная задача управления.

Если эта задача решена, то в дальнейшем можно рассмотреть и провести анализ оптимального режима работы по заданному критерию и улучшение системы по определенному критерию.

Рассмотрим управляемый процесс описываемый системой обыкновенных диф. Уравнений.

Составляющие вектора функции f являются непрерывными и непрерывнодиференциируемыми функциями по всей совокупности своих аргументов. Пусть компоненты управления u представляют собой кусочнонепрерывные функции времени с конечным числом точек разрыва или параметрами. Значения вектора управления u принадлежат заданной допустимой области U(u U), границы которой могут быть функции времени. Такое управление будем называть допустимым управлением. . Начальные условия (3) и управление u(t) U в соответствии с уравнениями (2) определяют фазовую траекторию процесса x=x(t). Пусть на множестве управлений u(t) и фазовых траекторий x(t) определены

Значение вектора управления u принадлежат заданой допустимой области U (u U) границы которой могут быть функции времени. Такое управление будем называть допустимым управлением. Исходное состояние системы задано начальным условием начальное условие (3) и управление u(t) в соответствии с уравнением (2) определяют фазовые траектории процесса Пусть на множестве управлений u(t ) и фазовых траекторий x(t) определены функционалы J_s

Каждый из которых представляет собой технический показатель соответствующей той или иной характеристики управляемого процесса. Работоспособность ситемы полностью характеризуется совокупностью функционалов J_s, так что все требования, предъявляемые к системе сводяться к системе ограничений на возможные значения этих функционалов обычно эти требования, предъявляемые к системе, записываются в виде неравенств(1). Задача определения управления, гарантирующего выполнения ограничения(1) является типичной здачей управления которую назовем ОЗУ(основная задача управления).

Сформулируем ее:

Среди допустимых управлений u(t) принадлежащих U найти такое при котором движение динамической системы в соответствии с уравнениями (2) ,(3) такое, что выполняется ограничение (1). Отметим, что если ОЗУ имеет решение то оно не единственное здесь имеются множество решений удовлетворяющих (1) это обстоятельство имеет положительное значение так как инженера не всегда интересует одно решение которое вообще говоря не возможно реализовать его интересует область значений параметров множества решений, удовлетворяющих заданным требованиям. Это дает свободу выбора решения позволяя внести изменения, учесть требования которые не возможно формализовать, то есть представить в математической форме. Имея свободу выбора значения параметров можно рассмотреть различные оптимальные варианты управления их расположения в области решения ОЗУ. Окончательное решение инжинеры принимают имея перед собой полную картину возможных приемлемых решений. Пусть теперь назначение фазовых координат наложены ограничения РИСУНОК

Построение траекторий, удовлетворяющей ограничениям(4) назовем задачей прохождения через область, каждая координата в некоторый фиксированный момент времени является функционалом, определенным на множестве траекторий, то есть

В частности задача попадания фазовой траектории в конечную область момент времени t=T т.е построения так называемой терминального управления при которой фазовая координаты удовлетворяют условию так же является ОЗУ РИСУНОК