7. Задача с вазами.

Имеется 1000 непрозрачных ваз, эти вазы подразделяются на вазы двух типов. В вазах первого типа, их количество равно 700, вложено по 6 красных и по 4 черных шара. В вазах второго типа их 300, вложено по 3 красных и по 7 черных шара. Если перед испытуемым находится ваза первого типа, и он угадает это, то он получит 350$, если не угадает, то он проиграет 50$. Если перед ним ваза второго типа и он угадает это, то он получит 500$, если не угадает его проигрыш составит 100$. Задача заключается в следующем: необходимо выбрать действия с максимальной ожидаемой полезностью.

d1-сказать что это ваза 1-го типа; d2-сказать что это ваза 2-го типа.

Тип вазы	Вер.-ть выбора дан.типа	Выигрыш d1	Выигрыш d2
1	0,7	350	-100
2	0,3	-50	500

U(d1)=0.7*350-(1-0.7)*50=230$

U(d2)=0.3*500-(1-0.3)*100=80$

Следовательно, разумный человек выбирает действие d1.

Из этого примера следует общий порядок действий:

1. Определить исходы;

2. Умножить их на соответствующие вероятности;

3. Получить ожидаемую полезность;

4. Выбрать действия с наибольшей полезностью.

8 Оптимизация многостадийных процессов. Постановка задачи.

Непрерывный хим-технол. процесс относится к классу многостадийных, где в качестве стадий являются отдельные аппарат или элемент аппарата. Все химическое производство можно также представить в виде многостадийного процесса, в котором стадией является технологический процесс. Записывая уравнение состояния каждой стадии в случае m-стадийного процесса, придем к системе уравнений высокой размерности. Если требуется найти управление на каждой стадии из условия min или max некоторой целевой функции, то решение такой задачи встречает значительные трудности, поскольку уравнения стадий представляют собой, как правило, систему нелинейных уравнений и ее решение на каждом шаге итерационного процесса поиска управления сложно. Как правило, система не сходится.

Для решения таких задач разработан метод динамического программирования, представляющий собой декомпозицию исходной задачи.

Рассмотрим многостадийный процесс:

З десь под стадией понимают: для непрерывных процессов – отрезок времени, для дискретных процессов – отдельный аппарат или элемент аппарата.

Математическое уравнение некоторой стадии представляет собой зависимость выходных параметров i-ой стадии от выходных параметров предыдущей (i-1) стадии и управление на i-ой стадии:

х_k⁽ⁱ⁾= _k⁽ⁱ⁾(x _k^(i-1),u _r⁽ⁱ⁾) (1) где i=1,¯N, k=1,¯m, х_k⁽ⁱ⁾ – k-ый выходной параметр i-ой стадии, х_k^(i-1) – k-ый выходной параметр (i-1)-ой стадии, u_r⁽ⁱ⁾ – вектор управления на i-ой стадии

При разбиении процесса на стадии надо определять управляющий параметр. Уравнение (1) в векторной форме:

х⁽ⁱ⁾= ⁽ⁱ⁾(x ^(i-1),u ⁽ⁱ⁾), Х⁽ⁱ⁾=(x ₁⁽ⁱ⁾, x ₂⁽ⁱ⁾,… x _n⁽ⁱ⁾), U⁽ⁱ⁾=(u ₁⁽ⁱ⁾, u ₂⁽ⁱ⁾,… u _r⁽ⁱ⁾), Х^(i-1)=(x ₁^(i-1), x ₂^(i-1),… x _n^(i-1))

Эффективность каждой стадии описывается некоторой функцией: r_i=r_i(x ^(i-1),u ⁽ⁱ⁾) зависит от вектора входных параметров и управления на i-ой стадии. Эффективность всего процесса записывается как аддитивная функция от критериев отдельных стадий:

Совокупность управлений многостадийного процесса U_N, которая обеспечивает min или max целевой функции R_N называется стратегией управления многостадийного процесса или просто стратегией управления:

Задача определения оптимальной стратегии управления, обеспечивающей min или max целевой функции, составляет задачу оптимизации многостадийного процесса.