5.Функция полезности. Отношение к риску.

До сих пор не принималось во внимание, кто же делает выбор, предпочитает он риск или стабильность. Теория полезности позволяет принимающему решение влиять на результат исходов, согласно своим оценкам полезности. одно и то же правило в данном случае приводит к разным. решениям у разных людей в зависимости от их запросов. Для примера рассмотрим 2 варианта вложения 1000$:

1. По 1му варианту можно без риска получить 10% годовых прибыли на капитал, т.е. к концу года получить 1100$;

2. По другому варианту можно его удвоить за год, либо потерять.

Какой вариант вложения выбрать зависит от того кто делает выбор – миллионер или студент. Одно из основных понятий экономической теории состоит в том, что человек делает рациональный выбор. Количественно рациональность выбора определяется f-ей полезности.

Полезностью называют величину, которую в процессе выбора max-рует ЛПР(Лицо,Принимающее Рш-е)

f полезн-ти запис-ся с.о.:

Пусть х и у – различные исходы, результатов выбора. Р – вер-ть того или иного исхода, u(x),u(y) – цена исходов х и у.

Аксиома1. х предпочтительнее у ттогда u(x)>=u(y) (xRy, если u(x)>=u(y))

f полез-ти: u(x,p,y)=pu(x)+(1-p)u(y), где u(x,p,y) – это численная f полез-ти. Теория полезности экспериментально подтверждается в «з-че о вазах».

6.Задача аналитического конструирования оптимального регулятора (Аккор).

Р ассмотрим линейный объект, описываемый уравнением

x(∙)=ax+bu (a, b - const) x(∙)(0)=x₀

Здесь х- отклонение фазовой координаты процесса от программного движения.

Необходимо построить закон регулятора u(x), кот минимизировал бы отклонение х от программного движения или же закон регулятора, который минимизировал бы интеграл

J=∫(cx²+mu²)dt→min, где с и m- const имеющие большую величину, кот выб-ся так, чтобы х и u были малыми величинами. Здесь 2-ое слагаемое под знаком интеграла штраф на управление. Поскольку, на управление расходуется некоторая энергия, то ее как и отклонение х необходимо минимизировать. Составим полную производную от функции V:

DV/dt=∂V/∂t+∂V/∂x*x(•)=∂V/∂t+∂V/∂x(ax+bu)

Подставим ее и значение функционала Ј в уравнение (6)

min(∂U/∂t+∂V/∂x(ax+bu)+cx²+mu²)=0

Поскольку никаких ограничений на управление нет, то для определения min выражения в скобках достаточно вычислить производную и приравнять ее к 0.

K=∂V/∂t+∂V/∂x(ax+bu)+cx²+mu²

∂k/∂u=0

∂k/∂u=b*∂ν/∂x+2mu=0(9)

∂k²/∂²u=2m>0

Из (9) следует: u0=-b/2m*∂V/∂x (10)

В этом законе не известна производная ∂V/∂x. Для ее определения подставим u₀ в выражение (7)

(∂V/∂t+cx²+mu²)_U0=0

(∂V/∂t+∂V/∂x(ax+bu₀)+cx²+mu²=0

∂V/∂t+(∂V/∂x)*ax+cx²-b²/4m(∂V/∂x)²=0 (11)

Из решения этого уравнения следует выражение V(x,t) подставляя кот в уравнение (10) получим закон, АКОР в виде u₀=u₀(x,t). В соответствии с которым регулятор будет иметь переменную структуру. При одном и том же отклонении α, в различные моменты времени будут иметь различный коэф.усиления.

Для построени регулятора постоян. Структуры положим ∂V/∂t=0, тогда (11) примет вид:

(∂V/∂x)²-4max/b²*(∂V/∂x)-4mcx²/b²=0

∂V/∂x=2max/b²√(4m²a²x²/b⁴+4mcx²/b²⁾

∂V/∂x=x[2ma/b²2/b^2*√(m²a²+mcb²)]

Использую (10) подставим

U₀= -b/2m*[2ma/b²2/b²*√(m²a²+mcb²)]*x= -[a/b1/mb²√(m²a²+mcb²)]*x

знак перед √ выберем из условия устойчивости движения , т.е. при t→∞, x(t) →0

x(●)=ax+bu. x(0)=0

dx/dt=ax-b[a/b1/m√(m²a²/b²+ mc)]* x

dx/dt=b/m√(m²a²/b²+mc)*x, Проинтегрируем это Ур-е.

x=x₀*exp(b/m√(m²a²/b²+mc)*t)

Т .о.U₀= -[a/b+1/m√( m²a²/b²⁺mc)]*x

U=-kx

K=[a/b+1/m√( m²a²/b²+ mc)].