20.Оптимальное распределение реакционных объемов в каскаде реакторов идеального смешения.

В каскаде реакторов смешения протекает химическая реакция приращения исходного вещества А в продукт реакции Р.

Температура в реакторе одинакова и постоянна.

Концентрация вещества на выходе реактора задана, значит задана степень превращения вещества.

Время пребывания вещества в -ом реакторе будет: . Которое равно отношению объема i-го реактора к объему расхода

Математическое ожидание реактора идеального смещения записывается в виде: , где - есть концентрация вещества А на выходе i-го реактора, а - концентрация на входе i-го реактора. - концентрация скорости реакции которая зависит от температуры, т.к. температура в каждом реакторе одинакова, то и константа будет одинакова для всех реакторов.

С точностью до коэффициента уравнение i-го реактора запишем в виде:

где - время пребывания вещества.

Уравнением i-го реактора будем считать время пребывания i-го реактора

Эффективность работы i-го реактора

Эффективность всего каскада

Требуется найти распределения времени пребывания в каскаде реакторов. Обеспечивающих заданную степень превращения вещества или заданную концентрацию на выходе каскада

Т.о. имеем многостадийный процесс и для построения оптимальной стратегии управления применим метод динамического программирования.

Так как концентрация на выходе последнего реактора задана , то оптимальное время найдем из уравнения состояния этого реактора.

Это время зависит от состояния входа

Минимальное значение критерия на этой стадии:

Где

Находим оптимальное управление для реактора:

Вместо подставим но значение из уравнение состояния реактора

Поскольку ограничений на нет, то условно минимума этого выражения можно записать как необходимо условие экстремума функции.

Продифференцируем

Выразим :

Найдем оптимальное управление для реактора

Сравнивая выражения (2)-(7) можно записать, что оптимальное время пребывание вещества в i-ом реакторе:

Используя эти выражения, запишем

На этом первый этап решения задачи закончен. В результате этого этапа мы получим зависимость оптимальных управления любого i-го реактора от его состояния входа и минимальное значение критерия от состояния входа i-го реактора. На втором этапе решения в зависимости от состояния входа первого реактора и , а оно заданно поскольку задана степень превращения вещества находится по уравнению (8). При этом уравнение из уравнения состояния первого реактора находится концентрация на выходе первого реактора.

Отсюда следует

И в 1-ом а во 2-ом реакторах оптимальное время пребывания вещества одинакова и зависит только от числа реакторов N, и начального и конечного концентрации.

Это справедливо только при условии одинаковой константы скорости во всех реакторах, а значит одинаковы температуры, т.е.

Вывод

При оптимальном распространении времени пребывание объемы реакторов должны быть одинаковы.