10. Основная задача управления. Условие разрешимости принципа при построении оптимальной стратегии управления.
as<=Js<=As(1)
Рассм.упр-ый прцесс описыв.систем.
обыкнов.диф.ур-ий: X.=f(x,u,t).
Здесь t
[0,T],
(2)
X=(x1,..,xn)- n-ый вектор фазовых коорд-т системы
U=(u1,..,ur) –r-мерный вектор упр-я процессом, t-время, T-прдолжительность прцесса.
Составляющие вектора f=f(f1,f2,
..,fn)-
это непрерыв. и непрер.диф функции по
совокупности всех аргументов. Пусть
компоненты упр-я :uк,
к=1,2,..,n яв-ся кусочно-непрерыв.
ф-ми с конечным числом точек разрыва
или констант. Знач.вектора u
U
(некот. допуст. область). И область U
вообще говоря м/т быть ф-ией времени.
Такие упр-я б/м наз. допустимыми.
Исход. сост. сист. зад. X(0)=x0 (3). Нач.состояние сист. х0 и управ-е u0 в соответствии с сист.ур-я (1) задают опред. траекторию процеса X=Х(t), t [0,T]. Пусть на множ. допуст.ур-ий U и траектории x(t) опред. функц-лы: Js[x,u], s=1,..,m. Кажд. из кот. представляет техн. показат., соот-ий той или иной харак-и упр-ого процесса. Работоспособность сист.полностью харак-ся совокуп-ью функц. Js. Так что все требования предъяв-ые к сист.сводятся к ограничениям на возможн. знач., этих функц. Обычно эти требования записыв. ввиде нер-в (1).
Задача упр-я при кот. гарантируется вып-е (1) яв-ся типичной задачей инженер. практики. Среди допустим. ур-ий U(t) найти то, при кот. движение динамич. сист. в соотв.с ур-ем (2),(3) такое, что выпол-ся усл-е (1). Отметим, что если ОЗУ имеет реш., то оно обычно не единст., а целое множ. реш. удовлетворяет нерав.(1). Это обстоят-во яв-ся важным, т.е. инженера не всегда интересует только ед. реш., кот. невозможно абсолют. точно реализ, при упр-ии процессом. Его интересует область знач. параметров (множ.реш.) удовлет. зад. требов. Это дает опред. свободу инженеру, кот. он м/т исп.для введения некот. изменений. С учетом дополн. требов. предъяв-х к объекту кот. невозможно формализовать. Имея свободу выбора знач. упр-х параметров м/о просмотреть также различные оптимальные решения, их расположение в области решения ОЗУ. Окончат. реш. инженер. принимают имея перед собой полную картину возможных применяемых решений.
Пусть теперь назначения фазов. коор-т x=x(τ) в некот. фиксир. момент времени τ [τ1,τ2] (0,T). Наложено ограничение: as=<X(τ)<=As; S=1,..,m(4), x-фазовая коорд-та процесса. as=as(t); As=As(t)- ф-я времени.
Построение траектории удовлет.ограничениям (4) яв-ся то же основн.зад. упр-е процесом или задачей прохождения ч/з зад. Область. Кажд.коорд. Xs(τ)=Jsτ[u,τ], s-дискретный индекс, τ – непрер.индекс. Поэтому для каждого фиксир. момента времени б/м иметь один функц-л, а для всей области изм-я T (τ1,τ2) б/м иметь множ.функц-ов. В этой задаче прохожд.ч/з зад. область кол-во функц-ов увел. и зависит от кол-ва дискретных точек во времени.
В частности задача попадания в конечную область при t=T, т.е. построение так. наз. терминального упр-я при кот. фазовая коор-та удовл.усл-ю: as(T)=< js[xs,T]<=As(T), то же яв-ся ОЗУ.
Теорема. Для того, чтобы выполнилось условие функц-ия системы as=<Js[u]<=As,(s=1,..,m) необх. и достаточно выполнение нерав-а:
Г0=minmax γs[u]=<1 или Г0=minmax γs[u]>=0.
Рассм. Minmax задачу: x=f(x,u,t), x(0)=x0, t [0,T]. Для сист.опис.диф. ур-я minmax γs[u]=Г0. Требуется найти упр-е u U кот. доставляет minmax выр-е Г0. Сущ-е решения minmax задачи удовл-й усл-ю Г0[u]=<1 гарантирует сущ-е реш. ОЗУ. При построении реш. ОЗУ б/м исп.м-ды поиска реш. Minmax задачи, но заметим, что для построения реш. Озу нет необх. находить U0 соот-е знач. Г0. Достаточно получить выполнение условия Г[u]=<1.