7.6. Полная механическая энергия частицы

Работа по перемещению частицы из положения 1 в положение 2 может быть выражена через приращение кинетической энергии

_.

Если частица находится в стационарном поле потенциальных сил, то на нее действуют потенциальные силы со стороны этого поля. Кроме того, на частицу могут действовать и другие силы, имеющие иное происхождение. Назовем их сторонними силами. Таким образом, результирующая сила, действующая на частицу,

.

Работа всех этих сил идет на приращение кинетической энергии частиц

Но с другой стороны работа потенциальных сил поля равна убыли потенциальной энергии частиц

,

следовательно

.

Таким образом, работа сторонних сил идет на приращение величины . Эту величину - сумму кинетической и потенциальной энергий - называют полной механической энергией частицы. Обозначим ее , следовательно,

.

Итак, из предыдущих уравнений следует, что приращение полной механической энергии частицы в стационарном поле потенциальных сил при перемещении ее из точки 1 в точку 2 можно записать в виде

_,

то есть приращение полной механической энергии частицы на некотором пути равно алгебраической сумме работ всех сторонних сил, действующих на частицу на том же пути. Если , то полная механическая энергия частицы возрастает, а если , то убывает. Следовательно, полная механическая энергия частицы может измениться под действием только сторонних сил. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения механической энергии одной частицы.

Если сторонние силы отсутствуют или таковы, что не совершают работ в течение некоторого промежутка времени, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле потенциальных сил остается постоянной в течение этого времени.

7.7. Потенциальная энергия системы материальных точек

7.7.1. Собственная потенциальная энергия системы материальных точек

До сих пор мы ограничивались рассмотрением поведения одной частицы с энергетической точки зрения. Теперь перейдем к системе частиц. Это может быть любое тело, газ, Солнечная система и так далее. Рассмотрим систему, между частицами которой действуют одни лишь центральные силы, то есть силы, зависящие при данном характере взаимодействия только от расстояния между частицами и направленные по прямой, проходящей через эти частицы.

Покажем, что независимо от системы отсчета работа всех внутренних сил при переходе системы частиц из одного положения в другое, может быть представлена как убыль некоторой функции, зависящей при данном характере взаимодействие только от относительного расположения частиц системы, то есть от ее конфигурации. Эту функцию называют собственной потенциальной энергией системы (в отличие от внешней потенциальной энергии, характеризующей взаимодействие данной системы с телами, не входящими в систему).

Рассмотрим систему из двух частиц 1 и 2. Определим алгебраическую сумму элементарных работ сил, с которыми эти частицы взаимодействуют. Пусть в произвольной - системе отсчета за время частицы совершают перемещения и . Тогда соответствующая сумма работ сил, действующих на эти частицы,

.

Так как , то . Вектор - перемещение частицы 1 относительно частицы 2, точнее перемещения частицы 1 в - системе отсчета, жестко связанной с частицей 2 и перемещающейся вместе с ней поступательно относительно исходной - системы отсчета. Тогда , где - перемещение частицы 1 относительно - системы отсчета. Полученный результат означает, что алгебраическая сумма элементарных работ пары сил взаимодействия в произвольной S - системе отсчета оказывается всегда равна работе, которую совершает сила, действующая на одну частицу, в системе отсчета, где другая частица покоится. Иначе говоря, работа не зависит от выбора исходной - системы отсчета.

Сила является центральной, а, следовательно, потенциальной. Поэтому работа данной силы на перемещении может быть представлена как убыль потенциальной энергии частицы 1 в поле частицы 2 или как убыль потенциальной энергии взаимодействия рассматриваемой пары частиц

,

где - функция, зависящая только от расстояния между частицами. При конечном же перемещении

.

Рассмотрим теперь систему из трех частиц. Полученный в этом случае результат легко обобщить и на систему из произвольного числа частиц. Работа, которую совершают все силы взаимодействия при перемещении всех частиц может быть представлена как алгебраическая сумма работ всех трех пар сил взаимодействий, то есть

.

Но для каждой пары этих сил

,

поэтому

,

где функция - собственная потенциальная энергия данной системы частиц

.

Так как каждое слагаемое этой суммы зависит только от расстояния между соответствующими частицами, то очевидно, что собственная потенциальная энергия данной системы зависит от относительного расположения частиц (в один и тот же момент времени) или другими словами, от конфигурации системы.

Ясно, что подобные рассуждения справедливы и для системы из любого числа частиц. Поэтому можно утверждать, что каждой конфигурации системы частиц присуще свое значение собственной потенциальной энергии, и работа всех внутренних центральных (потенциальных) сил при изменении этой конфигурации равна убыли собственной потенциальной энергии системы:

_,

где и - значения собственной потенциальной энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Мы видим, таким образом, что суммарная работа внутренних центральных сил не зависит от того, как конкретно система переходит от конфигурации 1 к конфигурации 2. Данная работа определяется исключительно самими конфигурациями систем. Все это позволяет дать более общее определение потенциальных сил.

Потенциальными называют силы, зависящие только от конфигурации системы и суммарная работа которых не зависит от способа перехода системы из одной конфигурации в другую, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы.