6.1. Закон сохранения импульса

Для системы материальных точек второй закон Ньютона записывается следующим образом

, (6.1)

где - импульс системы материальных точек,  - результирующая всех внешних сил, действующих на систему. Согласно уравнению (6.1) импульс системы материальных точек может меняться только под действием внешних сил. Внутренние силы импульс системы изменить не могут. Тогда, если система материальных точек замкнута, то как следует из (6.1) импульс такой системы материальных точек будет сохраняться, . При этом импульсы отдельных частиц замкнутой системы могут изменяться со временем. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение импульса одной части системы равно убыли импульса оставшейся части системы. Другими словами, отдельные части замкнутой системы могут только обмениваться импульсами. Если система материальных точек не замкнута, но результирующая всех внешних сил равна нулю, то импульс также будет сохраняться.

Для материальной точки закон сохранения импульса означает, что в отсутствие внешних сил она движется с постоянной скоростью по прямой линии. Для системы материальных точек в нерелятивистском случае закон сохранения импульса утверждает, что центр масс системы движется равномерно и прямолинейно. Может случиться, что система материальных точек или отдельная материальная точка не изолирована, но внешние силы действуют лишь в определенных направлениях, а в других отсутствуют. Тогда соответствующим выбором системы координат можно добиться, что одна или две проекции внешних сил обращаются в нуль. Пусть, например нет сил в направлениях, параллельных плоскости , то есть , . Тогда уравнение движения (6.1) , записанное в проекциях на оси выбранной системы координат, имеет следующий вид:

.

Проинтегрировав первые два уравнения, получим

, .

Это означает, что импульс системы в направлениях, параллельных плоскости , сохраняет свое значение и относительно них система ведет себя как изолированная.

Например, импульс свободно падающего тела не может сохраняться, так как на тело действует сила тяжести. Под действием этой силы вертикальная составляющая импульса непрерывно изменяется. Однако горизонтальная составляющая импульса при свободном падении остается неизменной.

6.2. Движение тел с переменной массой

Во многих задачах физики масса тела при движении меняется. Например, масса автомобиля для поливки улиц уменьшается за счет вытекания воды, масса ракеты или реактивного самолета уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива.

Выведем уравнение движения тела с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. В ракетном двигателе сила тяги создается в результате выбрасывания продуктов горения топлива в направлении, противоположном силе. Она возникает по закону Ньютона как сила реакции, и поэтому называется реактивной. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным ею веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться со временем. На этом положении и основана теория движения ракет.

Целесообразно, обобщить задачу, предположив что на ракету действуют внешние силы. Такими силами могут быть гравитационные силы, а также силы сопротивления среды, в которой движется ракета. Пусть - масса ракеты в произвольный момент времени а - ее скорость в тот же момент. Импульс ракеты в этот момент времени будет . Спустя время масса и скорость ракеты получат приращение и (величина ). Импульс ракеты станет равным . Импульс газов, образовавшихся за время , будет .

Приращение импульса системы за время , будет равно , где - геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету

.

Раскрывая скобки, можно отбросить произведение , как бесконечно малую величину высшего порядка. Учитывая, что , получим

. (6.2)

Полученное уравнение справедливо как в релятивистском так и в нерелятивистском случае. В нерелятивистском случае можно воспользоваться правилом сложения скоростей в виде , где - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда последнее уравнение принимает вид

. (6.3)

Обозначим ежесекундный расход топлива через и запишем уравнение в виде

.

Величина представляет реактивную силу. Если направлена противоположно , то ракета ускоряется, а если совпадает с , то тормозится. Полученное уравнение называется уравнением Мещерского или уравнением движения тела с переменной массой.