6. Закон сохранения момента импульса

6.1. Закон сохранения момента импульса

Для системы материальных точек уравнение моментов имеет следующий вид

, (6.1)

то есть производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же начала.

Момент сил и момент импульса зависят от положения начала. Оба момента, вообще говоря, изменятся, если перейти к новому началу. В уравнении (6.1) оба момента и определены относительно одного и того же начала.

Если момент внешних сил относительно неподвижного начала равен нулю, то момент импульса системы относительно того же начала остается постоянным во времени. Это положение называется законом сохранения момента импульса. В частности, момент импульса сохраняется для изолированной системы материальных точек. При этом моменты импульса отдельных частей системы могут изменяться со временем, однако, эти изменения всегда происходят так, что приращение момента импульса одной части системы в точности равно убыли момента импульса другой ее части.

Особый интерес представляют случаи, когда момент импульса сохраняется для незамкнутых систем. Это возможно в том случае, когда суммарный момент внешних сил относительно некоторой точки в течение интересующего нас промежутка времени равен нулю. Важным является случай центральных сил, когда направления всех сил, действующих на материальные точки системы, проходят через неподвижный центр О. Момент таких сил относительно точки равен нулю. Поэтому момент импульса системы материальных точек, в которой действуют только центральные силы, относительно точки должен сохраняться, то есть оставаться постоянным во времени.

Уравнение (6.1) справедливо как в инерциальных так и в неинерциальных системах отсчета. Только в неинерциальной системе отсчета нужно учитывать и действие сил инерции, играющих роль внешних сил, то есть под в уравнении (6.1) следует понимать сумму , где - суммарный момент внешних сил взаимодействия, - суммарный момент сил инерции относительно одной и той же точки системы отсчета. Момент импульса может сохраняться и в неинерциальных системах отсчета. Для этого необходимо, чтобы суммарный момент всех внешних сил, включая силы инерции, был равен нулю. Такие ситуации реализуются очень редко.

Если система незамкнута, то может сохраняться не сам момент импульса , а его проекция на некоторую неподвижную ось . Это возможно в том случае, если проекция суммарного момента импульса всех внешних сил на эту ось равна нулю. Действительно, проекция уравнения моментов (6.1) на ось имеет вид

, (6.2)

где и - момент импульса и суммарный момент внешних сил относительно оси . Из уравнения (6.2) следует, что если момент внешних сил относительно какой-либо неподвижной оси равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси остается постоянным. При этом сам вектор момента импульса относительно произвольной точки на этой оси может меняться.

6.2. Уравнение моментов в ц-системе

В Ц-системе уравнение моментов имеет вид

, (6.3)

где - суммарный момент всех внешних сил в Ц-системе. Так как Ц-система в общем случае является неинерциальной, то в помимо моментов внешних сил взаимодействия входит и момент сил инерции. В общем случае момент силы относительно неподвижной точки зависит от выбора этой точки. Моменты сил относительно точек и связаны соотношением , где и - моменты силы относительно точек и , а - радиус-вектор, определяющий положение точки относительно . Поскольку в Ц-системе система частиц как целое покоится, то сумма сил инерции и сил взаимодействия частиц системы с внешними полями равна нулю . Следовательно, в Ц-системе момент всех внешних сил, включая силы инерции, не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Обычно в качестве такой точки берут центр масс системы. Целесообразность выбора именно этой точки в том, что относительно ее суммарный момент сил инерции равен нулю. Действительно, сила инерции, действующая на каждую частицу системы равна , где - ускорение Ц-системы. Поэтому суммарный момент всех этих сил относительно центра масс равен

.

По определению центра масс , а так как , то и . Следовательно, в уравнении (6.3) следует учитывать только суммарный момент внешних сил взаимодействия .

Как и момент сил, момент импульса системы в общем случае зависит от выбора точки относительно которой его определяют

, (6.4)

где и - момент силы относительно точек и , а - радиус-вектор, определяющий положение точки относительно . Из последнего соотношения следует, что, если полный импульс системы равен нулю , то ее момент импульса не зависит от выбора точки . Поскольку в Ц-системе , система частиц как целое покоится, то в Ц-системе момент импульса системы частиц не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Этот момент называется собственным моментом импульса системы.

Пусть - момент импульса системы частиц относительно некоторой точки , а собственный момент импульса системы, тогда (6.4) можно записать

,

где - радиус-вектор, определяющий положение центра масс системы относительно точки . То есть момент импульса системы относительно произвольной точки складывается из ее собственного момента импульса и момента , обусловленного движением системы частиц как целого. В частности, если центр масс системы покоится (импульс системы ), то ее момент импульса это есть собственный момент импульса системы.

Тогда уравнение (6.3) запишется следующим образом

,

то есть производная по времени от импульса собственного момента импульса системы равна суммарному моменту всех внешних сил взаимодействия относительно центра масс данной системы. В частности, если , то , то есть собственный момент импульса системы сохраняется.