2.11. Условия равновесия механической системы

Используя понятие потенциальной энергии, можно выразить условие равновесия механической системы и его устойчивости. Рассмотрим сначала систему взаимодействующих материальных точек, на которую не наложены никакие связи. Пусть все действующие силы потенциальные. Тогда их составляющие можно выразить формулами

, , .

В состоянии равновесия все силы и все производные потенциальной энергии по координатам должны обращаться в нуль. Отсюда следует, что для равновесия необходимо, чтобы потенциальная энергия была стационарна. Стационарность означает, что при всяком выводе системы из состояния равновесия, когда координаты материальных точек получают бесконечно малые приращения функция остается практически постоянной. Точнее, приращения функции , при таких бесконечно малых изменениях координат, являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем приращение самих координат. В частности, система будет находиться в равновесии, если потенциальная энергия экстремальна, то есть минимальна или максимальна.

Если потенциальная энергия минимальна, то равновесие будет устойчивым. Это означает, что система возвращается в состояние равновесия при бесконечно возмущении этой системы. Причина устойчивости равновесия при минимуме потенциальной энергии выявляется особенно наглядно, если рассмотреть всего одну материальную точку, способную совершать одномерное движение. В этом случае график функции имеет вид потенциальной ямы. В состоянии равновесия материальная точка лежит на дне потенциальной ямы. Никакие силы на нее в этом положении не действуют. При смещении точки в сторону, как легко видеть, появляется сила, направленная к положению равновесия и стремящаяся вернуть точку в это положение. Если же точка находится в равновесии там, где потенциальная энергия максимальна, то есть лежит на вершине горы, то при ее смещении в сторону появляется сила, направленная от положения равновесия. Такая сила еще дальше уведет точку от этого положения. Равновесие будет неустойчивым. Равновесие всякой механической системы, вообще говоря, неустойчиво, если потенциальная энергия максимальна.

2.12. Одномерное движение частицы

Одним из важных приложений закона сохранения энергии является вопрос о границах движения нерелятивистской частицы в поле потенциальных сил. Допустим, что диссипативные силы в системе не действуют. Тогда справедлив закон сохранения механической энергии. Поскольку кинетическая энергия по своему смыслу не может быть меньше нуля, то из закона сохранения механической энергии следует, что

.

Этим соотношением определяется область изменения всех координат системы, в которой она может находиться при заданной энергии . В область, где , система попасть не может, так как потенциальная энергия не может превышать полную.

Рассмотрим одномерное движение частицы. Примем направление движения частицы за координатную ось , следовательно потенциальная энергия будет функцией только : . Если - полная энергия, то частица может находиться только в тех местах оси , где . Допустим, что график имеет вид, изображенный на рисунке. Проведем на этом рисунке горизонтальную прямую . Пусть эта горизонтальная прямая пересекает кривую в трех точках с координатами . Сразу видно, что частица с полной энергией не может находиться в областях 1 и 6. Она может двигаться либо в области 2, либо в области 4. Переходить из области 2 в область 4 или обратно частица не может. Этому препятствует “потенциальный барьер” . В области 2 частица с полной энергией будет совершать так называемое финитное движение, то есть движение, происходящее в ограниченной области пространства. В точках и потенциальная энергия равна полной энергии, поэтому в этих точках кинетическая энергия, а с ней и скорость частицы равна нулю. В точке потенциальная энергия минимальна, а кинетическая энергия и скорость имеют максимальное значение. Так как сила связана с потенциальной энергией соотношением , то между точками и она будет положительной, а между точками и - отрицательной. Это значит, что между точками и сила направлена в сторону уменьшения , то есть влево, а между точками и - вправо. Поэтому, если частица начинает двигаться от точки , где ее скорость равна нулю, то под действием силы, направленной вправо, она будет постепенно ускоряться и достигнет в точке максимальной скорости. Двигаясь далее от до под действием силы, направленной теперь влево, частица будет замедляться, пока ее скорость в точке не станет равной нулю. После этого она начинает обратное движение от точки к точке . Такое движение будет повторяться все время. Она окажется запертой в потенциальной яме и будет совершать колебания между крайними точками и , называемыми точками поворота. Если же частица находится в области 4 и движется влево, то она, достигнув точки , повернет обратно и далее будет уходить на бесконечность. Такое движение называется инфинитным.

Пусть теперь частица обладает большей энергией , и горизонтальная прямая пересекает потенциальную кривую в единственной точке с абсциссой . Тогда для частицы окажется доступной вся область пространства правее точки и движение в этой области будет инфинитным.

В точке потенциальная энергия достигает минимума и производная от по обращается в нуль, поэтому в этой точке равна нулю сила и, следовательно, она является положением равновесия частицы. Это положение является положением устойчивого равновесия, так как при отклонении частицы от положения равновесия в рассматриваемом случае возникает сила, стремящаяся вернуть частицу назад в положение равновесия. Как уже отмечалось, таким свойством обладают только точки минимума, а не максимума потенциальной энергии, хотя в последних сила также обращается в нуль. Если отклонить частицу в том или ином направлении из точки максимума потенциальной энергии, то возникающая сила в обоих случаях действует в сторону удаления от этой точки. Поэтому места, где потенциальная энергия достигает максимума, являются положениями неустойчивого равновесия.