7.10. Упругие и неупругие столкновения

Законы сохранения энергии и импульса позволяют решить задачу о движении тел после столкновения. Примером столкновения является соударение бильярдных шаров, в результате которого изменяется их скорость, кинетическая энергия, а возможно и внутреннее состояния. Однако, понятие столкновения относится не только к таким взаимодействиям, при которых имеет место непосредственное соприкосновение материальных тел, но и когда взаимодействие осуществляется в малой области пространства, то есть когда силы быстро убывают с расстоянием. Такое взаимодействие имеет место, например, при пролете -частицы вблизи ядра ( -частицы представляют собой ядра гелия с положительным зарядом, равным по величине двум зарядам электрона) . В результате этого взаимодействия происходит изменение траектории движения -частиц (рассеяние). Область взаимодействия в этом случае имеет размер порядка 10^-10 м. Другим примером является отклонение комет при пролете вблизи Солнца. Взаимодействие в этом случае осуществляется в области размером в 10¹⁰ м, малой по сравнению с размерами Вселенной ~10²⁶ м. Обобщая сказанное, можно определить столкновение как такое взаимодействие двух или нескольких частиц или материальных тел, которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно короткого промежутка времени.

В механике при столкновениях изменяются величины, характеризующие их состояние, импульсы, моменты импульсов и энергии. Между их значениями до столкновения и после столкновения существуют соотношения, независимые от детального характера процесса столкновения, которые вытекают из законов сохранения.

Если внутренняя энергия частиц при столкновении не изменяется, то столкновение называется упругим, если изменяется - неупругим.

7.10.1. Абсолютно упругий удар

Абсолютно упругим ударом двух тел в нерелятивистском случае называется такое столкновение, после которого не остается никаких деформаций, не изменяется их внутренняя энергия (шары не нагреваются), а полная кинетическая энергия до удара равна полной кинетической энергии тел после удара.

Рассмотрим центральный удар абсолютно упругих шаров. В этом случае скорости шаров до удара и направлены вдоль прямой соединяющей их центры. Эта прямая называется линией центров. В случае абсолютно упругого удара шары при столкновении деформируются и кинетическая энергия частично переходит в потенциальную энергию упругих деформаций. В некоторый момент вся кинетическая энергия относительного движения переходят в потенциальную энергию упруго деформированных шаров. В этот момент шары аналогичны сжатым пружинам, стремящимся перейти в недеформированное состояние. Ввиду этого начинается обратный переход энергии упругих деформаций в кинетическую энергию поступательного движения шаров. Когда он заканчивается, шары разлетаются в разные стороны и вновь оказываются недеформированными. Таким образом, кинетическая энергия поступательного движения шаров снова принимает исходное значение, каким оно было до удара.

Скорости шаров после столкновения и легко найти из законов сохранения импульса и потенциальной энергии

(7.18)

Такая система должна иметь решение относительно неизвестных и . Одно решение очевидно , . Но это решение означает, что столкновения не было. Это связано с тем, что в законах столкновения мы рассматриваем два состояния, разделенных промежутком времени , но в законе сохранения не заложено условие, что это столкновение произошло. Чтобы получить решение, относящееся к столкновению, нужно потребовать. чтобы скорости изменилась. Заметив это, перепишем (7.18) в виде

Поделив уравнения почленно друг на друга, получим

.

В результате задача сводится к решению системы двух линейных уравнений

Решение этой системы уравнений имеет следующий вид

Рассмотрим несколько частных случаев столкновения двух шаров.

1. Пусть два шара перед столкновением имеют импульсы, равные по величине, но противоположные по направлению, то есть . Тогда, согласно полученным формулам, скорости шаров после удара равны соответственно и и, следовательно, в результате столкновения импульсы шаров изменяются на противоположные по направлению и шары разлетаются с прежними по величине скоростями.

2. Пусть один из шаров покоится, . Скорости шаров после столкновения

, .

Таким образом, после столкновения оба шара будут иметь скорости, отличные от нуля, но их величины и будут зависеть от соотношения масс шаров, участвующих в столкновении.

а) при скорость первого шара уменьшается по величине, но сохраняет свое направление. Часть кинетической энергии этого шара передается второму шару. Кинетическая энергия, приобретенная вторым шаром

.

Очевидно, переданная второму шару энергия максимальна, когда . В этом случае первый шар останавливается, а вся его энергия переходит в кинетическую энергию второго шара . Если , то переданная энергия мала. Импульс второго шара после удара также мал по сравнению с , хотя скорость мало отличается от . Действительно, .

b) При направление движения первого шара изменяется на противоположное , а второй шар начнет двигаться в направлении движения первого шара до столкновения . При от первого шара второму переходит энергия , то есть малая ее часть. Импульс второго шара , а скорость .

Например, при ударе шара о стенку можно принять , тогда , а , и, следовательно, шар отскакивает от стенки, сохраняя кинетическую энергию неизменной.

Можно решить задачу о столкновении в системе центра масс (Ц - системе). Относительно лабораторной системы отсчета центр масс движется со скоростью

.

Если воспользоваться теперь нерелятивистским законом сложения скоростей, то для скоростей частиц после столкновения получим следующие выражения

, .

Таким образом в системе центра масс столкновение приводит просто к изменению знака каждой скорости.