2.10.2. Нецентральный удар шаров
Пусть до столкновения скорости шаров
были направлены под углом к линии,
соединяющей их центры. Тогда вектор
скорости можно разложить на два
составляющих вектора
,
один из которых
направлен по линии, соединяющей центры
шаров, а другой -
перпендикулярен к ней. При столкновении
изменяются только составляющие
,
для их нахождения используются формулы,
полученные для центрального удара.
Различить центральный и нецентральный удар возможно в случае столкновения частиц, движение которых можно описать в рамках классической механики. При взаимодействии микрочастиц, состояние которых описывается по законам квантовой механики, взаимное расположение частиц становится неопределенным. Однако, если силы взаимодействия между ними подобны упругим, то столкновение микрочастиц можно считать упругим. Задача в этом случае решается в общем виде и анализируется графически.
2.10.6. Графическое решение задачи о столкновении частиц
Для простоты выберем систему координат
так, чтобы вторая частица до столкновения
покоилась, то есть
.
Тогда законы сохранения импульса и
энергии при абсолютно упругом ударе
запишутся в виде
,
где кинетическая энергия
выражена через импульс. Выразим из
первого уравнения
,
и подставим во второе
.
Отсюда скалярное произведение
или
.
Окончательно получаем, что
.
(2.19)
Теперь можно выполнить геометрическое
построение. Проведем из некоторой точки
О вектор
.
Затем построим окружность радиусом
с центром, лежащим на прямой, совпадающей
с вектором
таким образом, чтобы окружность проходила
через точку О. Угол ОАВ треугольника,
вписанного в окружность, прямой, поэтому
все отрезки, проведенные из точки О к
точкам окружности, удовлетворяют
уравнению (2.19) и определяют импульс
частицы
после столкновения.
Импульс первой частицы после столкновения
получается из закона сохранения импульса.
На диаграмме
равен вектору
.
Угол между векторами
и
представляет угол разлета частиц после
столкновения, а угол
— угол
отклонения первой частицы от первоначального
направления движения. Как видно из
рисунка, угол
может изменяться от
до 0 . Для
существует максимальное значение
.
Он получается, когда линия
касается окружности. Рассмотренное
построение выполнено для случая, когда
.
Аналогично, можно решить задачу для
случая
2.10.4. Замедление нейтронов
Особенности упругого удара имеют многие
важные применения, например, для
замедления нейтронов в ядерном реакторе.
Энергия, которая выделяется в ядерных
реакторах — это энергия деления ядер
урана при столкновении их с нейтронами.
Вероятность захвата нейтрона тем больше,
чем меньше их кинетическая энергия. Для
ее уменьшения в активную зону реактора
вводится графит, масса ядра атома
углерода, который входит в графит,
приблизительно в 12 раз больше массы
нейтрона. Поэтому при каждом центральном
столкновении нейтрона с ядром графита
ядру передается
энергии нейтрона и процесс замедления
идет быстро.
2.10.5. Абсолютно неупругий удар
Интересным примером, где имеет место переход механической энергии в другие виды энергии под действием диссипативных сил, является абсолютно неупругий удар. Так называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно тело.
Н
айти
скорость тела можно не вдаваясь в
механизм явления, а используя только
закон сохранения импульса. Рассмотрим
центральный удар.
Пусть два шара массами
и
движутся со скоростями
и
.
При столкновении образуется тело массой
, движущееся со скоростью
.
Запишем закон сохранения импульса для
такого удара
.
В проекции на ось, совпадающую по направлению со скоростью движущихся частиц, закон сохранения импульса запишется следующим образом
.
Отсюда скорость движения слипшегося тела после столкновения
.
Изменение механической энергии системы для рассматриваемого случая равно изменению ее кинетической энергии
,
где
-
приведенная масса системы.
Таким образом, при столкновении двух абсолютно неупругих шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения, равная половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.
Во время столкновения в системе действуют диссипативные силы, уменьшающие кинетическую энергию макроскопического движения. Поэтому применять закон сохранения механической энергии к процессам, происходящим во время удара, нельзя. Но после того, как удар закончился и тела соединились, законом сохранения механической энергии уже можно пользоваться.
В качестве примера можно рассмотреть
задачу о баллистическом маятнике. Пусть
на маятник массой
налетает со скоростью
пуля массой
.
Для простоты расчета будем считать
маятник математическим. Процесс
столкновения происходит настолько
быстро, что за время столкновения,
маятник не успевает отклониться на
заметный угол. В результате удара он
только приходит в движение и задача
заключается в том, чтобы найти скорость
после удара. Во время удара всеми силами,
действующими на маятник, можно пренебречь
по сравнению с силой, с которой на маятник
действует налетающая пуля, то есть
систему маятник-пуля можно считать
замкнутой и использовать закон сохранения
импульса. В проекции на направление
движения пули закон сохранения импульса
выглядит следующим образом
,
где
- скорость системы после удара. После
удара диссипативные силы не действуют,
поэтому можно использовать закон
сохранения механической энергии
,
где - высота, на которую поднимется маятник,
.
Измерив , можно вычислить скорость пули .