7.4. Потенциальные и непотенциальные силы

Если в каждой точке пространства на помещенную туда частицу действует сила, то говорят, что частица находится в поле сил. Так, например, частица может находиться в поле сил тяжести, в поле упругих сил, в поле сил сопротивления.

Поле, остающееся постоянным во времени называется стационарным. В стационарном силовом поле сила, действующая на частицу, зависит только от ее положения. Работа, которую совершают силы поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2, зависит, в общем случае от формы траектории между этими точками. Вместе с тем, имеются стационарные силовые поля, в которых работа, совершаемая над частицами силами поля, не зависит от формы траектории между точками 1 и 2. Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными или консервативным а соответствующее поле сил - потенциальным полем. Для определения потенциальности поля можно ввести другой критерий. Вычислим работу сил поля по замкнутому контуру. Разобьем замкнутый контур на две части и ( рис.7.6). Тогда работа на замкнутой траектории

.

Н етрудно сообразить, что . А так как в рассматриваемом случае работа не зависит от формы траектории, то в результате и оказывается, что работа на произвольной замкнутой траектории действительно равна нулю. Таким образом, сумма интегралов . В левой части этого выражения стоит интеграл по замкнутому контуру, и равенство можно представить в виде . Кружок на знаке интеграла и означает, что интегрирование проводится по замкнутому контуру.

На этом основании можно утверждать, что потенциальным называется поле, в котором работа сил по замкнутому контуру равна нулю. С другой стороны, очевидно, чтобы поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы работа сил поля по любому замкнутому контуру была равна нулю.

Силы, не являющиеся потенциальными, называются непотенциальными или диссипативными. К числу непотенциальных сил относится, например, силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит от формы траектории между начальным и конечным положениями частицы (и не равна нулю на замкнутом контуре).

Потенциальными являются все центральные силы. Центральными называются силы, зависящие только от расстояния между частицами и направленные по прямой, проходящей через эти частицы. Примером центральных сил являются гравитационные, кулоновские и упругие.

7.5. Потенциальная энергия частицы в поле

То обстоятельство, что работа потенциальных сил в случае стационарного поля зависит только от начального и конечного положений частицы, дает возможность ввести чрезвычайно важное понятие потенциальной энергии.

Представим себе стационарное поле потенциальных сил, в котором частица перемещается из точки, положение которой определяется радиус-вектором , в точку, положение которой определяется радиус-вектором . Если пределы интегрирования определяются радиус-векторами и , то работа потенциальной силы является функцией только и . Обозначим ее . Эта функция обладает двумя очевидными свойствами. Во-первых, , так как при отсутствии перемещения работа не совершается. Во-вторых, , где  — радиус-вектор любой промежуточной точки на данном участке траектории. Действительно, сумма работ на двух последовательных участках траектории определяет работу при перемещении из точки начала первого участка в конец второго. Очевидно, функция будет обладать таким свойством, если она имеет вид разности значений некоторой функции U, которая определяется только положением точки в пространстве: . Функция называется потенциальной энергией частицы. Следовательно, работа потенциальной силы

(7.8)

равна убыли потенциальной энергии частицы при перемещении ее из одного положения в другое.

Таким образом, физический смысл имеет не само значение потенциальной энергии, а разность потенциальных энергий в двух положениях частицы. Однако, можно положить потенциальную энергию в некоторой точке пространства равной любому заданному значению, например, нулю. Тогда во всех остальных точках ее значение будет определяться однозначно. Эта процедура называется нормировкой. Например, потенциальная энергия тел вблизи поверхности Земли

, (7.9)

где — высота поднятия тела над поверхностью Земли. Принимая значение потенциальной энергии на поверхности Земли , получим, что - это есть выражение потенциальной энергии при нормировке ее значения на нуль на поверхности Земли.

Соотношение (7.8) дает возможность найти выражение для для любого стационарного поля потенциальных сил. Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути между двумя точками и представить ее в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциальная энергия. Именно так и было сделано при вычислении работы в полях упругих, гравитационных и кулоновских сил, а также в однородном поле силы тяжести. Из соотношений (7.5)- (7.6) видно, что потенциальная энергия частицы в данных силовых полях имеет следующий вид:

– в поле упругих сил ; если принять потенциальную энергию недеформированной пружины равной нулю,

– в гравитационном (кулоновском) поле ; при этом на бесконечности.

Еще раз подчеркнем, что потенциальная энергия - функция, которая определяется с точностью до произвольной постоянной. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно, так как во все формулы входит только разность значений энергии в двух положениях частицы. Поэтому произвольная постоянная, одинаковая для всех точек поля, выпадает. В связи с этим ее обычно опускают. И еще одно важное обстоятельство следует отметить: потенциальную энергию следует относить не к частице, а к системе взаимодействующих между собой частицы и тел, вызывающих силовое поле. При данном характере взаимодействия частицы с окружающими телами потенциальная энергия частицы зависит только от положения ее относительно этих тел.