6.6. Формула циолковского
Применим уравнение (6.3) к описанию
движения ракеты, на которую не действуют
никакие внешние силы. Полагая
,
получим
.
Допустим, что ракета движется прямолинейно
в направлении, противоположном скорости
газовой струи
.
Если направление полета принять за
положительное, то проекция вектора
на это направление будет отрицательной
и равной
.
Поэтому в скалярной форме предыдущее
уравнение можно записать так:
.
Следовательно,
.
(6.4)
Будем считать, что скорость газовой струи остается постоянной во время полета. Такое предположение не затрагивает основные черты явления, но сильно упрощает решение уравнения (6.3). В этом случае
.
Значение постоянной
определяется начальными условиями.
Пусть в начальный момент времени скорость
ракеты равна
,
а ее масса равна
,
тогда
.
Следовательно,
или
.
Последнее соотношение называется
формулой Циолковского. При ускорении
из состояния покоя, то есть при
,
формула Циолковского принимает вид
.
Формула Циолковского позволяет
определить, какой будет масса ракеты,
если ее скорость измениться от
до
.
Это необходимо знать при решении задачи
достижения максимальной скорости при
минимальном расходе топлива. Из формулы
Циолковского видно, что этого можно
достичь за счет увеличения скорости
истечения газов. Однако, скорости
истечения газов
при горении химических видов топлива
не превышает 4—5 км/с. Исходя из этой
величины, можно оценить вероятность
межпланетных полетов. Для того, чтобы
тело могло покинуть пределы земного
притяжения, ему нужно сообщить скорость,
равную второй космической скорости, то
есть
км/с.
При
и
км/с
в космос полетит масса
,
то есть приблизительно только 5 %
первоначальной массы. Необходимо еще
учесть, что ракета должна обладать
запасом топлива для обратного возвращения
на Землю, а также для ее торможения при
посадке и корректировке траектории.
Поэтому отношение
,
где
— масса
ракеты, вернувшейся на Землю, должно
быть значительно больше, и масса топлива
должна превышать массу космического
корабля в сотни и тысячи раз. Технические
трудности очень велики, но еще преодолимы.
Для межзвездных полетов ракеты на
химическом топливе абсолютно непригодны.
Расстояние до звезд измеряется световыми
годами, от ближайшей звезды свет идет
до Земли около четырех лет. Поэтому
нужны ракеты, скорость которых близка
к скорости света.
Обобщенная формула Циолковского на
случай релятивистских скоростей
получается из общего уравнения движения
(6.2) при
с учетом зависимости массы от скорости:
;
где
— переменная
масса покоя ракеты,
,
-
скорость света в вакууме. Тогда для
релятивистских скоростей
,
где
— масса
покоя ракеты в начальный момент, когда
.
При
эта формула переходит в формулу
Циолковского для нерелятивистских
скоростей.
Предположим, что ракету нужно ускорить
до скорости
с помощью химического топлива, когда
км/с.
Расчет дает значение
.
Поэтому увеличение скорости ракет до
релятивистских значений на химическом
топливе нереально. Для ядерных ракет
км/с
и
,
то есть окончательной скорости
достигнет примерно
стартовой массы ракеты. Поэтому идеальным
был бы случай
.
Так было бы в фотонной ракете, в которой
роль газовой струи должен играть световой
пучок, излучаемый двигателем корабля
в определенном направлении. Однако,
фотонные ракеты в настоящее время
являются фантазией.