4. Законы сохранения и симметрия пространства и времени
Сначала законы сохранения были установлены опытным путем, как обобщение огромного количества экспериментальных фактов. Значительно позже пришло понимание глубокой взаимосвязи этих законов, позволившее не только осмыслить их всеобщность, но и предсказать, в каких условиях тот или иной закон сохранения может нарушаться или видоизменять свою форму.
Своим происхождением законы сохранения обязаны свойствам симметрии природы. Эти свойства выражаются в неизменности вида физических законов, то есть в их инвариантности при преобразованиях фундаментальной симметрии: сдвиге начала координат на любое расстояние в любом направлении; сдвиге начала отсчета времени на любой промежуток; повороте тройки координатных осей на любой угол вокруг оси, ориентированной в любом направлении. Остановимся более подробно на физическом содержании преобразований фундаментальной симметрии.
1. Симметрия по отношению к сдвигу начала координат или, как говорят, свойство однородности пространства означает, что все точки физического пространства физически эквивалентны, то есть если замкнутую систему тел перенести из одного места пространства в другое, оставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений. Именно благодаря однородности пространства можно сравнивать результаты одинаковых экспериментов, поставленных в разных лабораториях..
Однородность пространства, то есть
симметрия по отношению к преобразованию
сдвига, приводит к закону сохранения
импульса. При смещении начала координат
на вектор
согласно преобразованиям Галилея
радиус-вектор
в исходной системе отсчета связан с
радиус-вектором
в новой системе соотношением
.
Для упрощения рассмотрения ограничимся
рассмотрением изолированной системы
двух точек, способных перемещаться
только в одном направлении
.
Обозначим их координаты через
и
,
а потенциальную энергию взаимодействия
.
Однородность пространства выражается
в том, что при изменении координат частиц
на одну и ту же величину
,
потенциальная энергия
не изменяется
.
При любом виде функции
это равенство возможно только в том
случае, если
зависит не от двух переменных
и
,
а только от их разности
.
При этом условии силы, действующие на каждую частицу равны соответственно
.
Мы получили третий закон Ньютона
.
Складывая теперь уравнения движения частиц
,
,
где
и
-импульсы частиц, получаем
.
Следовательно полный импульс системы
сохраняется. Последнее соотношение
показывает, что импульс аддитивен. Это
свойство выполняется для системы из
произвольного числа
нерелятивистских частиц: полный импульс
равен сумме импульсов частиц системы
.
2. Симметрия по отношению к сдвигу начала
отсчета времени или, свойство однородности
времени, проявляется в физической
эквивалентности разных его моментов,
то есть, если в два любые момента времени
все тела замкнутой системы поставить
в совершенно одинаковые условия, то,
начиная с этих моментов все явления в
ней будут протекать совершенно одинаково.
Свойство однородности времени позволяет
сравнивать результаты опытов, проделанных
в разное время. Однородность времени,
то есть симметрия по отношению к
преобразованию
приводит к закону сохранения энергии.
Этот закон выполняется для систем,
находящихся в неизменных во времени
внешних условиях. Такие условия называются
стационарными и создаются потенциальными
внешними полями, то есть полями, в которых
действующие на частицу силы и потенциальная
энергия частицы могут зависеть только
от координат точки пространства, в
которой находится частица.
Действительно, выбор начала отсчета
времени несущественен, если только
неизменны во времени внешние условия,
в которых находится система. Например
энергия частицы в поле тяготения
сохраняется потому, что поле тяготения
со временем не изменяется. Потенциальная
энергия
зависит только от высоты частицы
над поверхностью земли. После этих
разъяснений обратимся к выводу закона
сохранения энергии в механике. Мы
получили, что работа над механической
системой равна приращению ее кинетической
энергии
.
Дальше будем говорить только об одной материальной точке. В случае системы материальных точек все будет обстоять также, изменится только число аргументов, от которых зависит потенциальная энергия. Проекции силы, действующей на материальную точку, можно получить дифференцированием потенциальной энергии
, , .
В общем случае потенциальная энергия может зависеть явно не только от координат рассматриваемой функции, но и от времени :
.
Работа, производимая действующими силами над материальной точкой при перемещении ее вдоль некоторой кривой из положения 1 в положение 2, представляется интегралом
,
взятым вдоль той же кривой. Прибавим и
вычтем под знаком интеграла член
.
Тогда, вводя полный дифференциал
,
представим предыдущее выражение для работы в виде
.
В таком виде оно справедливо и для системы материальных точек. Поэтому дальнейшие рассуждения не связаны с предположением, что система состоит из одной материальной точки. После интегрирования получим
,
так как полный дифференциал функции определяется ее значениями в начальной и конечной точках, то есть не зависит от пути по которому происходит переход. Сравнивая эту формулу с выражением работы через приращение кинетической энергии, получим
.
Если система замкнута, то ввиду
однородности времени, функция
не может явно зависеть от времени, то
есть
.
В результате получим
,
то есть уравнение, выражающее механический закон сохранения энергии.
6. Изотропия пространства означает, что если замкнутую систему тел повернуть в пространстве на любой угол, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений. То есть свойство изотропности пространства или симметрия по отношению к повороту координатных осей выражает физическую эквивалентность разных направлений в пространстве.
Изотропность пространства приводит к закону сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса выполняется для изолированных систем и для движений частиц в центрально-симметричном внешнем поле. Очевидно, что по отношению к такому силовому центру пространство будет изотропно.
Рассмотрим изолированную систему
нескольких нерелятивистских
взаимодействующих друг с другом частиц.
Для простоты ограничимся двумя частицами.
Пусть
- потенциальная энергия взаимодействующих
частиц, где
- радиус-векторы частиц. Из однородности
пространства следует, что
может зависеть только от
.
Свойство изотропности пространства
накладывает дополнительное ограничение:
может быть функцией только абсолютного
значения вектора
.
Только при условии
потенциальная энергия не будет изменяться при поворотах системы как единого целого. Тогда силы, действующие на частицы будут равны
,
и для моментов сил можно записать следующие выражения:
.
Складывая эти равенства, находим
С другой стороны
.
Следовательно
,
то есть суммарный момент импульса со временем не меняется
.
Это и есть закон сохранения момента импульса для изолированной систем двух взаимодействующих нерелятивистских частиц. Последнее соотношение указывает также, что момент импульса является аддитивной величиной.
Таким образом мы выяснили, что в механике полученные нами законы сохранения являются следствиями второго закона Ньютона, если к нему присоединить свойства симметрии пространства и времени, а именно: однородность пространства и времени, а также изотропию пространства (при выводе закона сохранения энергии надо ввести и некоторые более специальные предположения относительно характера действующих сил).
СОДЕРЖАНИЕ
6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 2
6.1. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА 4
6.2. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ 5
6.6. ФОРМУЛА ЦИОЛКОВСКОГО 6
6.4. СИСТЕМА ЦЕНТРА МАСС 9
7. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 10
7.1. РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ 10
7.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ КИНЕТИЧЕСКИМИ ЭНЕРГИЯМИ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА. ТЕОРЕМА КЕНИГА 15
7.6. ПРИМЕРЫ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ 16
7.6.1. Работа упругой силы 17
7.6.2. Работа гравитационной (или кулоновской) силы 17
7.6.6. Работа однородной силы тяжести 18
7.4. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И НЕПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ 19
7.5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ 21
7.6. ПОЛНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ЧАСТИЦЫ 23
7.7. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 24
7.7.1. Собственная потенциальная энергия системы материальных точек 24
7.7.2. "Внешняя" потенциальная энергия 27
7.8. ПОЛНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ДЛЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 27
7.9. СИЛЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 30
7.10. УПРУГИЕ И НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 34
7.10.1. Абсолютно упругий удар 34
2.10.2. Нецентральный удар шаров 38
2.10.6. Графическое решение задачи о столкновении частиц 39
2.10.4. Замедление нейтронов 41
2.10.5. Абсолютно неупругий удар 41
2.11. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 43
2.12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ 45
6. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 47
6.1. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 47
6.2. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ В Ц-СИСТЕМЕ 49
4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 50