И.Н. Анохина, В.Ф. Нявро, Н.И. Федяйнова

Механика законы сохранения

Томск – 2001

6. Законы сохранения

Зная законы действия сил на систему частиц и состояние системы частиц в некоторый начальный момент времени, то есть координаты и скорости всех частиц, можно с помощью уравнений движения предсказать ее дальнейшее поведение, то есть найти состояние системы в любой момент времени. Однако детальное рассмотрение поведения системы с помощью уравнений движения часто бывает настолько затруднительно, что довести решение до конца оказывается практически невозможным. А в тех случаях, когда законы действия сил вообще неизвестны, такой подход оказывается в принципе неосуществимым. При таком положении естественно возникает вопрос: нет ли каких-либо общих принципов, которые позволили бы иначе подойти к решению задачи и помогли бы в какой-то степени обойти эти трудности.

Оказывается, такие принципы есть. Это законы сохранения. Законы сохранения позволяют рассмотреть общие свойства движения без решения уравнений и детальной информации о развитии процессов во времени. Законы сохранения были установлены опытным путем, как обобщение огромного количества экспериментальных фактов, позднее пришло понимание их всеобщности и фундаментальности. Существует много законов сохранения: энергии, импульса, момента импульса, заряда и других физических величин.

Рассмотрим в качестве примера одномерное движение материальной точки вдоль оси X. Согласно Ньютону, уравнение движения имеет вид

,

где .

Для нахождения зависимостей скорости и координат от времени ( и ) нужно сначала проинтегрировать первое уравнение, а затем, рассматривая как известную величину, проинтегрировать второе. Первое интегрирование для широкого класса сил можно провести в общем виде и представить результаты как постоянство числового значения определенной комбинации физических величин. Это и есть закон сохранения. Таким образом в математическом смысле законы сохранения в механике сводятся к первым интегралам уравнений движения.

Из всех интегралов движения наибольший интерес представляют те, которые обладают свойством аддитивности. Это свойство заключается в том, что значения интегралов движения для системы, состоящей из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме их значений для каждой из частей в отдельности. Аддитивных интегралов движения в классической механике три: импульс, энергия, момент импульса. В соответствии с этим имеют место три закона сохранения - закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса.

Эти законы тесно связаны с основными свойствами симметрии пространства и времени - однородностью и изотропностью. А именно: закон сохранения энергии связан с однородностью времени, закон сохранения импульса - с однородностью пространства, закон сохранения момента импульса - с изотропностью пространства.

Законы сохранения энергии, импульса, момента импульса относятся к числу тех фундаментальных принципов физики, значение которых трудно переоценить. Роль этих законов особенно возросла после того, как выяснилось, что они далеко выходят за рамки механики и представляют собой универсальные законы природы. Во всяком случае, до сих пор не обнаружено ни одного явления, где бы эти законы нарушались.

Открыв возможность другого подхода к рассмотрению различных механических явлений, законы сохранения стали мощным и эффективным инструментом исследования, которым повседневно пользуются физики. Эта важнейшая роль законов сохранения как инструмента исследования обусловлена рядом причин.

– Законы сохранения не зависят ни от траекторий, ни от характера действующих сил. Поэтому они позволяют получить ряд весьма общих и существенных заключении о свойствах различных механических процессов, не вникая в детальное рассмотрение их с помощью уравнений движения.

–  Поскольку законы сохранения не зависят от характера действующих сил, их можно использовать даже тогда, когда силы вообще неизвестны. В этих случаях законы сохранения являются единственным и незаменимым инструментом исследования. Так, например, обстоит дело в физике элементарных частиц.

– Даже в тех случаях, когда силы известны, законы сохранения могут оказать существенную помощь при решении многих задач о движении частиц. Хотя все эти задачи могут быть решены с помощью уравнений движения, привлечение законов сохранения очень часто позволяет получить решение наиболее простым и изящным путем, избавляя нас от громоздких и утомительных расчетов. Поэтому при решении новых задач обычно принято придерживаться следующего порядка: прежде всего один за другим применяют соответствующие законы сохранения и только, убедившись, что этого недостаточно, переходят затем к решению с помощью уравнений движения.