11.1.Методы типа Рунге-Кутта для решения оду

Интервал интеграла [x, x+h] t ϵ [0;1] t=x+αh

введем 3 набора параметров:

α₁ α₂ α₃… α_q

β₁₀

β₂₀,β₂₁

⁞

β_q0,...β_q,q-1

A₀, A₁, …, A_q

ф₀=hf(x,y)

ф₁=hf(x+ α₁h;y+ β₁₀ ф₀)

ф₂=hf(x+ α₂;y+ β₂₀ ф₀+ β₂₁ ф₁)

⁞

ф_q=hf(x+ α_qh;y++ β_q0 ф₀+ β_q1 ф₁+ β_q,q-1 ф_q-1)

Каждая из ф вычисляется на основе предыдущих ф. заметим

Погрешность этой замены

далее разложив это выражение по формуле Тейлора в окрестности 0,

будем добиваться равенства (*) для как можно большего числа j. В этом случае погрешность будет определятся остаточным членом . Добиваться этого можно варьируя наборы А,α,β, при этом чем больший набор мы возьмём, тем большее кол-во равенств (*) удовлетворим. При этом величина k в остаточном члене - порядок точности метода. Метод 1-го порядка точности:

q=0, тогда А₀=1, тогда , тогда

получилась формула Эйлера. Метод 2-го порядка точности:

q=1, α₁, β₁₀, A₀, A₁ получаем след систему

пусть А₁ =0,5, тогда А₀=0,5 α₁=1 β₁₀=1 и ф-лы для

и получаем

это усоверш метод Эйлера, при выборе А₁ =1 мы придем к модифиц методу Эйлера.

12.1. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка (Метод )

13.1. Понятие о граничных задачах для оду. Метод стрельбы для решения граничной задачи.

Граничные задачи это когда условия задаются на границах, например для левого конца балки задано перемещение на 1, а для правого угол поворота 45.

в отличие от других задач сдесь условия задаются не только при х=0, но и при х=L.

Метод стрельбы:

Пусть есть задача: на высоте h расположено орудие, выстрел из которого должен попасть в точку на высоте h2 на расстоянии L от орудия, усли считать что траектория описывается ф-ей y(x), то y(0)=h1, y(L)=h2. Если y(x) решение ДУ, то мы имеем граничную задачу для этого ДУ. Располагая орудие под разными углами, мы будем изменять hтек. Тогда идея для метода пристрелки в том, чтобы подобрать угол, чтобы выполнилось необх условие. Меняя углы мы будем подбирать такой угол. y(L)=h2 эквивалентно y'(x) (при х=0)=tgα

И тогда мы граничную задачу заменим начальной. В этом и заключается идея метода пристрелки.

14.1. Построение уравнения изогнутой оси балки при различных условиях на ее концах на основе метода стрельб.

Пусть задана балка с

у0=1 смещение левого конца

у1=0 угол повороты левого конца

у2=0 смещение левого конца

у3=0 угол поворота левого конца

предварительные начальные условия для левого конца балки (3 и 4 условия)

невязка пробного вектора решений

начальные условия на левом конце балки. у0,у1 – заданные

v0,v1 - подбираемые

вектор правой части системы ДУ

обращение к процедуре подбора недостающих условий

вектор начальных условий на левом конце балки

REZ:=rkfixed(begY,a,b,N,D) (отображаем по OX – REZ^<0>, а по OY – REZ^<1>)

REZ^<1>

1

REZ^<0>

0