7.2. Параметрический рациональный сплайн.

Среди всех сплайнов используемых для приближения кривых, рациональный сплайн обладает наиболее универсальными свойствами. Параметрический рациональный сплайн:

Где - суммарная длина хорд, т.о. между точками .

Где задаются одинаковыми для пары ,

Для вычисленных параметров сплайна воспользуемся формулами для рационального сплайна, подставив в их вместо .Для построения рац сплайна нужно задать краевые условия, далее выражают A B через C D, используя условие непрерывности сплайна слева и справа от точки, далее чтобы найти C D используют условие непрерывности производной первой и второй в точках слева и справа, найдя ABCD строим сплайн.

8.2. Обобщенные кубические сплайны.

- это такие сплайны, которые при определенных значениях входящих в них параметров, переходят в обычный кубический сплайн, при этом многие задачи интерполирования решаются с их помощью с лучшими результатами. Одним из достоинств является простота реализации на ЭВМ.

Рациональные сплайны.

- это одна из разновидностей обобщенных кубических сплайнов. Они позволяют более эффективно учитывать точки излома функции, отслеживать большие градиенты, хорошо учитывать выпуклости и вогнутости кривой. Кроме того, позволяет исключить осцилляции на прямолинейных участках.

Пусть на интервале [a,b] задана система узлов ∆ так, что a= x₀<x₁<…<x_n=b.

Рациональный сплайн – функция S_R(x), которая

1. На каждом из подинтервалов [x_i, x_i+1] имеет вид:

S_R(x) = A_i t +B_i (1- t) + + (1)

t =

h_i= x_i+1 – x_i

p_i ,q_i – параметры сплайна (заданные числа) -1< p_i ,q_i< ∞;

2. S_R(x) C² [a,b], т.е.непрерывен вместе со 2-ой производной на [a,b].

Для определения сплайна необходимо найти значения A_i ,B_i ,C_i ,D_i .

9.2. Параметрический Эрмитов кубический сплайн.

Этот сплайн представляет собой совокупность двух Эрмитовых сплайнов.

(7)

- производная по S от x(S) в точке S_i.

Для возможности вычисления по формуле (7) необходимо определить .

Поскольку в реальных задачах информация о наклонах обычно отсутствует, то, как и в случае обычного Эрмитова сплайна , заменим их приближенными значениями.

Поскольку точное значение параметра вычислить невозможно, то будем строить Эрмитов сплайн близкий к сплайну 7 в некотором смысле.

Во-первых, для описания сплайна введем параметризацию по суммарной длине хорд.

!!!Там, где сверху квадратики, должно быть наверху.

где

Во-вторых, точные значения производных заменим по приближенным разностным формам.

(8)

(9)

(10)

где

Эти формулы используются в том случае, если кривая не замкнута. Если кривая замкнута, то вместо формул 8 и 10 используем:

(11)

Рекомендации по выбору узлов:

1. Следует выбирать узлы так, чтобы (то есть, чтобы длины звеньев были практически одинаковы);

2. В точках излома кривой следует вводить по два близких узла. В этом случае будет снижена асцилляция кривой, заключающаяся в том, что сплайн сильно уклониться от истинной кривой.