10.2. Интерполяция кривых локальными сплайнами.

Пусть имеем кривую, известны толькокоординаты точек . В этом случае уже не выполняется условие упорядоченности абсцисс, которое было обязательным при построении приближающих полиномов или сплайнов для обычной функции. Однако и в этом случае можно развить аппарат интерполяции сплайнами плоских или пространственных кривых.

Поступим следующим образом, введем естественную параметризацию кривой.

S – в данном случае это длина дуги, отсчитываемая от точки . Тогда углу будет соответствовать единственное значение .

- общая длина кривой.

Рассмотрим интерполяционный сплайн первой степени.

(1)

где

Геометрически такой сплайн представляет собой ломаную, состоящую из кривых, соединяющих между собой точки:

Из условия (1) можно получить

(2)

где , а производная взята по параметру t.

Как видно, это отношение представляет собой тангенс угла наклона звена сплайна:

В этом случае, если звено сплайна параллельно оси y.

t - безразмерный параметр, который изменяется от 0 до 1.

Отметим интересное свойство сплайна, которое заключается в том, что тангенс угла наклона не зависит от S. Положение точки определяется параметром t , изменяя значение которого от 0 до 1 можно получать промежуточные значения на звене сплайна.

Как видно на этом примере (формула 1) параметрический сплайн первой степени в случае плоской кривой представляет собой пару обычных сплайнов. Один для координаты x,а второй для координаты у. В качестве независимой переменной выступает S. Если кривая пространственная, то добавится такая же формула для координаты z.

11.2. Вычисление интеграла по таблице значений функции с использованием интерполирующего полинома Эрмита.

S_3,2(x)=y_i∙ F1(t)+ y_i+1∙ F2(t)+ m_i∙ h_i∙F3(t)+ m_i+1∙ h_i∙F4(t)

a=x₁ x₂ x_n-1 x_n=b

t = , dx=h_i∙dt

)

12.2. Кубический сплайн дефекта 2 (s3,2(X)).

На участке (x_i, x_i+1) S_3,2(x)=a_i0+a_i1x+a_i2 x²+a_i3 x³ (1).

a _i0, a_i1, a_i2 ,a_i3 должны быть определены из условия:

S_3,2(x_i)=y_{i (2) – условие непрерывности сплайна}

S_3,2(x_i+1)=y_i+1

S^‘_3,2(x_i)=m_{i (3) – условие непрерывности производной}

S^‘_3,2(x_i+1)=m_i+1

m_i – наклоны сплайна в узлах.

Условия (2) и (3) образуют систему линейных алгебраических уравнений, решив которые можно найти a_i0, a_i1, a_i2 ,a_i3 .

Если теперь подставить эти решения в (1), то вид сплайна получится следующим:

S_3,2(x)=y_i∙ F1(t)+ y_i+1∙ F2(t)+ m_i∙ h_i∙F3(t)+ m_i+1∙ h_i∙F4(t) (4)

h_i= x_i+1 – x_i

F1(t), F2(t), F3(t), F4(t) – полиномы Эрмита.

F1(t)=(1– t)²(1+2t)

F2(t)=t²(3– 2t) t= , t – безразмерная переменная.

F3(t)=t(1– t)²

F4(t)= – t²(1– t)

Алгоритм построения данного сплайна.

1. Проверить на какой из отрезков (x_i, x_i+1) попадает значение аргумента х, для которого нужно найти S_3,2(x). Если при этом окажется, что х= x_i , то

S_3,2(x)=y_i , иначе нужно вычислить h_i, затем t, F1(t), F2(t), F3(t), F4(t) и воспользоваться формулой (4).

2. Если нужно построить значение S_3,2(x )с шагом ∆ на интервале (a,b), то к этой функции нужно обратиться в цикле по шагам.

Во многих практических случаях величина наклонов m_i неизвестна. Для их определения по заданной таблице (x_i,y_i) их можно вычислить по приближенным формулам:

m_i L_i∙ + M_i∙ ; i=2,3,…,N-1 (9), т.е. для внутренних участков.

m₁ (1+M₂)∙ – M₂ (10), для левого угла.

m_n L_N-1 +(1+L_N-1)∙ (11)

M_i =

L_i=1-M_i

Этот сплайн также относится к семейству локальных сплайнов.