15. 2. Сплайны. История возникновения. Понятие о звене сплайна.

При создании чертежей кораблей чертежники для того, чтобы провести плавную линию через заданные точки использовали тонкие гибкие рейки подвешивая к ним грузы, так чтобы рейки прошли через эту систему точек. Рейки назывались сплайнами. Сама идея переложения на математический язык называется теорией сплайнов.

Недостаток алгебраического интерполирования заключается в том, что при увеличении количества узлов – увеличивается степень интерполирования полинома, соответственно увеличивается время затрачиваемое на вычисление. Кроме того за счет большого количества операций умножения и сложения может накапливаться вычислительная погрешность. От этих недостатков свободно интерполирование с помощью сплайн. При этом на каждом подинтервале приближение проводится с помощью полинома фиксированной степени.

Вид каждого из таких полиномов отличается друг от друга (у низ разные коэффициенты), но эти полиномы должны стыковаться в одних точках подинтервалов имея одинаковые значения и может быть одинаковые производные до некоторого порядка включительно.

Т.о. при ьтаком подходе возникают следующие преимущества: 1) степень полинома не зависит от числа узлов 2) можно показать, что увеличения числа узлов приводит к стремлению погрешности к нулю.3) при низкой степени полинома время интерполирования уменьшается. Такой способ интерполяции называется кусочно-пономиальным.

Касочные полиномы образующие сплайн называются звеньями. Условие непрерывности в произвольных узлах – условие нестыковки звеньев.

16.2. Использование обратного интерполирования для решения уравнений.

Пусть корень f(x)=0 уединен на [a, b]. Предположим f(x)=0 – монотонная на [a, b]. Ну если это так , то к ней существует обратная x=F(y).

Если на [a, b] задана таблица для y=f(x),

x1	x2	…	xn
y1	y2	…	yn

то таблица

y1	y2	…	yn
x1	x2	…	xn

будет соответственно таблицей для x=F(y), тогда по второй таблице можно построить интерполируемый полином x=L_n-1(y). Тогда подставим и получим приближенное значения искомого корня x=L_n-1(0).

17.2. Метод Мюллера для решения трансцендентных уравнений.

П усть исходная функция f(x) задана аналитически на интервале [a,b] и её значения могут быть вычислены в нужных точках. Пусть f(x)=0 – корень этого уравнения уединен на интервале [a,b], тогда по значениям этой функции в узлах строят интерполяционный полином, находят его корень на этом интервале и считают, что он приблизительно равен корню уравнения на этом интервале.

Обобщением этого метода является метод Мюллера, где на [a,b] берутся три узла и по ним строится полином второй степени:

Если корней 2, то в качестве х₄ выберем тот, который ближе к х_2. Через точки х₂, х₄, х₁, как через узлы проводим другую параболу. х₅ – очередное приближение формул. Продолжаем операцию до тех пор, пока