24.2. Разложение аппроксиматора по системе базисных функций.
Возникает
естественный вопрос, за счет чего же
можно изменить значения критерия при
аппроксимации. Очевидно,
должна зависеть от параметров, варьируя
которыми мы и будем менять ее вид.
Если представить график функции в виде проволоки, то изменяя эти параметры, мы будем по-разному изгибать эту проволоку.
Одним из естественных предположений для выбора функции является следующее:
-
подбираемые варьируемые константы;
-
набор неизменяющихся функций, называемых
базисными.
Пусть
мы имеем
,
тогда требование близости в
среднеквадратическом смысле примет
вид:
где
Найдем это выражение:
Получена система линейных уравнений:
где
-
симметричная матрица.
(1)
Уравнение (1) представляет собой функцию-аппроксиматор.
Необходимо
определить
на интервале
,
а в качестве критерия близости выбираем:
(2)
(3)
Введем обозначения:
(**)
(4)
(5)
Если сравнить (**) с формулой (*) (смотрите ранее), то заметим, что суммирование по точкам заменено интегрированием по отрезку. Понятно, что в программной реализации в лабораторной работе по точечному среднеквадратичному приближению достаточно заменить (*) на формулу (**).
Рассмотрим пример:
Пусть
мы имеем функцию
на интервале
.
Необходимо приблизить функцией
.
Тогда система уравнений (4) примет вид:
