13.2. Определение сплайна. Сплайн первой степени.

Функция S_n,ν (x) – сплайн степени n дефекта ν, где n и ν - целые числа, если

1. на каждом из отрезков (x_i, x_i+1) из (a,b) функция S_n,ν (x) является полиномом степени n;

2. если S_n,ν (x) на всем интервале (a,b) имеет непрерывные производные до порядка

n- ν включительно.

Кусочные полиномы, образующие сплайн, называются звеньями, а условия непрерывности в узлах­­­____

Рассмотрим сплайн 1-ой степени S₁(x). Он представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию. На каждом из отрезков (x_i, x_i+1) он является полиномом 1-ой степени:

S₁ (x) = A₀+A₁∙x

ν=1, т.е. непрерывной производной он не имеет.

Уравнение сплайна:

S₁(x) = + ( ), x_{i i+1}

h_i =x_i+1 – x_i - шаг

Для построения этого сплайна требуется только таблица (x_i ,y_i). Вычисление этого сплайна можно выполнять по следующему алгоритму:

1. определение tg угла наклона:

tgα_i = =

и вычисляется S₁ (x)= +U_i ∙ (x – x_i ).

(x_i+1,y_i+1)

U_i(x-x_i)

(x_i,y_i) α

S₁(x)

y_i

x_i x x_i+1

Сплайн 1-ой степени относится к семейству локальных сплайнов, т.к. для его построения необходима информация только об ограничивающих данный участок узлах.

14.2. Алгоритм «прогонка» для решения системы линейных уравнений с диагональным преобладанием.

Рассмотрим для определенности систему линейных уравнений для непериодического сплайна:

2 M₁+M₂=C₁

aM₁+2M₂ +b₂M₃=C₂

...

a_n-1 ∙M_n-2+2M_n-1+b_n-1 ∙M_n=C_n-1

M_n-1+2M_n=C_n

Разрешим 1-ое уравнение относительно M₁:

M₁=p₁∙M₂+q₁ p₁₌ q₁=

Подставим M₁ во 2-ое уравнение и выразим M₂:

M₂= ∙ M₃+

p₂= q₂=

M₂= p₂∙ M₃+q₂

Продолжая процесс исключения и подставляя M_i-1= p_i-1∙ M_i+q_i-1 в уравнение

a_i ∙M_i-1+2Mi+b_i ∙M_i+1=C_i получим:

M_i = ∙ M_i+1 + , т.е. p_i и q_i равны:

p _i= _{-рекуррентные формулы для p и q. (1)}

q_i=

Продолжая этот процесс, получим для последнего уравнения:

M_n-1= p_n-1∙ M_n+q_n-1

M_n-1= -2M_n+C_n

Можно последовательно вычислить:

M_n= (2)

M _n-1= p_n-1∙ M_n+q_n-1

M_n-2= p_n-2∙ M_n-1+q_n-2 (3)

и т. д.

Т.о. алгоритм «прогонка» состоит из двух частей: прямой и обратный ход.

В прямом ходе сначала задаем p₁ и q_1, затем по рекуррентным формулам вычисляем прогоночные коэффициенты.

Обратный ход: сначала по формуле (2) вычисляем M_n , а затем по формулам (3) вычисляют M_n-1, M_{n-2, …,} M_1.

Оказывается, метод «прогонка» не приводит к накоплению ошибок округления при вычислении. Такие методы называются численно устойчивыми.

Сформируем систему для случая периодического сплайна:

Из формул

M₁=M_n

a_i ∙M_i-1+2Mi+b_i ∙M_i+1=C_i , i=2,3,…,h-1.

M_n+1= M₂ (h_n=h₁)

при i=2, M₁=M_n получим:

2 M₂+b₂M₃+ a₂ M_n=C₂

a₃ M₂+2M₃+ b₃ M_n=C₃

… (4)

a_n-1 M_n-2+2M_n-1+ b_n-1 M_n=C_n-1

b_n ∙M_n-2+a_n M_n-1+ 2 M_n=C_n

Эти уравнения аналогичны рассмотренному выше приему и их можно переписать:

M_i= p_i∙M_i+1 +r_i∙M_n+q_i , i=2,3,…,n-1 (5)

Прогоночные коэффициенты опять вычисляются по (1) при условии, что p_i= q_i=0:

r_i = ,r₁=1 (6)

П олагая M_i=U_i∙M_n+V_i , i=2,3,…,n-1.

U_i=p_i∙U_i+1+r_i

V_i=p_i∙V_i+1+q_i

U_n=1 V_n=0

M_n=