18.2 Области использования интерполирования.

У нас задачи интерполирования заключались в том, чтобы в узлах совпадало только значение функции. Понятно, что аналогичную задачу можно сформулировать выдвигая требования, чтобы в узлах совпадали ешё и значения производных. Если говорить только о первых производных, то задача решается с помощью полином Эрмита, которые будут аналогами базисных функций. Кроме того в некоторых ситуациях нужно выполнять интерполяцию для функции нескольких переменных.

Идея интерполирования лежит в основе многих методов приближенных вычислений:

1) приближенные вычисления функции

2) численное интегрирование

Т.е. подинтегрированную функцию f(x) заменяют интерполяционным полиномом, а затем от него вычисляется определенный интеграл. Операция приближенного интегрирования основана на этом подходе достаточна точна.

Тоже справедливо и для функций заданных таблично:

3) Численное дифференцирование

К сожалению эта операция имеет приближенную точность:

) Численное решение алгебраических и тангенциальных уравнений:

Пусть исходная функция f(x) задана аналитически на интервале [a,b] и её значения могут быть вычислены в нужных точках. Пусть f(x)=0 – корень этого уравнения уединен на интервале [a,b], тогда по значениям этой функции в узлах строят интерполяционный полином, находят его корень на этом интервале и считают, что он приблизительно равен корню уравнения на этом интервале.

19.2. Тригонометрическая интерполяция.

Алгебраическая интерполяция в качестве базисных функций использует мономы. Если же интерполируемая функция является периодической, то уместно в качестве базисных функций выбирать периодические функции. Будем рассматривать ситуацию, когда f(x), которую следует приблизить является периодической на интервале [a,b]. Пусть узлы являются равностоящими, т.е.:

В качестве базисных функций используем: cos 0 x, sin 0 x, cos 1 x, sin 1 x,………cos k x, sin k x.

Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического интерполируемого полинома вида *(1) , удовлетворяющего условию: . Можно показать, что коэффициенты интерполяционного полинома

Удовлетворяют условию *(2) вычисленных по формулам:

Достаточно строгого класса функции, чтобы утверждать, что при увеличении N ошибка интерполирования стремится к нулю. Формулы *(4) можно распространять и на функции интерполирования на случаи периодической функции на отрезке [a,b] с периодом

20.2. О наилучшем выборе узлов интерполирования.

зависит от расположения узлов на интервале интерполирования. Для сравнения приведем значения и соответствующей таблицы: ln(2,5)=0,9163.

Пусть f(x) – интерполируемая функция. Заменим эту функцию полиномом Лагранжа: f(x)=L_n-1+R(f,x). R(f,x) – остаточный член формулы Лагранжа, который представляет собой погрешность метода интерполяции. При выполнения вычисления, результаты отдельных арифметических операций округляются или отсекаются из разряда, поэтому при построении интерполяционного полинома кроме погрешности метода будет присутствовать еще вычислительная погрешность. Можно доказать следующие утверждение: если функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b], содержащем узлы интерполирования x₁, x₂, …., x_n, то такая что , где w_n(x)= . Пусть M_n= , . Понятно, чтобы использовать эту теорему нужно иметь возможность взять производную . Интерполяционный полином можно построить единственным образом по данным таблицы. Остаточный член R(f,x) всегда имеет один и тот же вид. Возникает вопрос: Можно ли выбрать такое количество узлов на интервале интерполирования, чтобы w_i(x) имело наименьшее максимальное значение на интервале (a,b) из всех возможных? Чебышев доказал, что наилучшим выбором узлов будет следующий:

В этом случаи:

Узлы х_i не являются равностоящими, а сужаются у концов интервала интерполирования.