26.Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

Эмпирической функцией распределения называется функция, определяющая для каждого значения x относительную частоту события :

- число вариант меньших , - объем выборки.

В теории вероятностей определяет вероятность события . На основании теоремы Бернулли при эмпирическая функция распределения стремится к теоретической

.

Таким образом, эмпирическая функция распределения строится для оценки вида теоретической функции определения.

Свойства:

1. Для любого x функция распределения заключена в интервале от 0 до 1: 0 .

2. – неубывающая функция.

3. непрерывна слева в каждой точке .

4. Если , то для каждого

Если , то для каждого

27.Гистограмма и полигон.

Для наглядности строят различные графики статистического распределения. Например график эмпирической функции распределения, кроме того, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки c координатами:

Для изучения непрерывного признака строится гистограмма. Для этого интервал , где , делится на несколько частичных интервалов одинаковой длины h. Затем подсчитывается число вариант n_i, попавших в каждый интервал.

Гистограмма – фигура, состоящая из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы длины , а высоты .

Тогда площадь -го прямоугольника равна , а площадь всей гистограммы , где - объем выборки.

Аналогично строится гистограмма относительных частот. При этом вдоль оси Oy откладываются . Тогда площадь i-го прямоугольника равна . А площадь всей гистограммы .

Гистограмма служит для оценки вида плотности вероятности.

28.Числовые характеристики выборки.

Выборочным средним называется среднее арифметическое значение вариант: .

Выборочной дисперсией называется среднее значение квадратов отклонения вариант от среднего:

Выборочным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из дисперсии: .

Размах варьирования: .

Начальным моментом r-го порядка - среднее значение r-ых степеней вариант: .

Центральным моментом r-го порядка называется среднее значение отклонений в степени r от среднего: .

Асиметрией называют величину равную: .

Пределы значений асимметрии от до . При распределение симметрично, в частности для нормального распределения

Эксцессом называют величину равную:

Эксцесс показывает степень крутости кривой распределения признака Х по сравнению с крутостью нормального распределения. Значения эксцесса лежат в полуинтервале Для нормального распределения .

29.Точечное оценивание

Пусть вид распределения изучаемого признака Х известен , но неизвестно значение входящего параметра (тетта).

Статистической оценкой называется любая функция выборки .

Точечной оценкой называется оценка, которая дается одним числом.

Для того, чтобы статистическая оценка давала хорошее приближение оцениваемому параметру , она должна обладать определенными свойствами.

Оценка называется несмещенной, если ее мат. ожидание равно оцениваемому параметру .

Это свойство означает отсутствие ошибки одного знака.

Примером несмещенной оценки является выборочное среднее для мат. ожидания.

Примером смещенной оценки является выборочная дисперсия для теоретической дисперсии.

Оценка параметра называется состоятельной, если для любого

Состоятельность оценки означает, что при большом объеме выборки оценка приближается к истинному значению параметра (чем больше n, тем точнее оценка).

Оценки, обладающие свойством несмещенности и состоятельности, при ограниченном объеме выборки могут отличатся дисперсиями.

Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность ошибки при вычислении . Поэтому целесообразно, чтобы дисперсия оценки была минимальной, т.е. чтобы выполнялось условие

Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.