Показательное распределение.

Показательным, называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

(1)

Показательное распределение имеет один параметр .

Рисунок 3 График плотности вероятности показательного распределения

Функция распределения:

, , .

Характерным свойством показательного распределения является равенство матожидания и среднеквадратического отклонения:

.

17.Нормальное распределение.

Норм. распределение – распр-ние вероятностей

непрерывной случ. величины, к-рое описывается плотностью

Норм. распр-ние определяется 2 параметрами а и σ. Можно показать, что Мξ =а, Dξ = σ² , σξ= σ

При а=0 и σ=1 получим стандартное норм.распр-ние:

От произвольного норм. распр-ния можно перейти к стандартному с помощью преобразования z=(x-a)/ σ. Ф-ция станд. норм.распр-ния –

Ф-ция Лапласа –

Ф-ции Ф(х) и Ф₀(х) связаны м/у собой соотношением Ф(х)=1/2+Ф₀(х). Вероятность попадания норм.случ.величины в заданный интервал: Р(α<ξ<β)=Ф₀((β-а)/ σ)- Ф₀((α-а)/σ).

Вероятность заданного отклонения от матем. ожидания для норм.случ.величины:

Р (‌‌|‌‌ξ-а|<δ)=2Ф₀(δ/ σ). Покажем это: Р (‌‌|‌‌ξ-а|<δ)=Р(а- δ< ξ <а+ δ)=Ф₀((а+ δ-а)/ σ)- Ф₀((а- δ-а)/ σ)=Ф₀(δ/ σ)- Ф₀(- δ/ σ)=2 Ф₀(δ/ σ).

Преобразуем данную формулу, положив δ= σ*t.

Получим Р (|‌‌ξ-а|< σt)= 2 Ф₀(t). Если t=3, то

Р (‌‌|‌‌ξ-а|<3 σ)= 2 Ф₀(3)=0,9973≈1.

Правило трех сигм: если случ.величина распределена нормально, то с вероятностью близкой к единице, абсол.величина ее отклонения от мат.ожидания не превосходит утроенного среднего квадратич.отклонения.

18.Двумерная функция распред. И ее свойства.

Многомерная случайная величина Х=(Х₁, Х₂, ... Х_n) – это совокупность случайных величин Х_i , заданных на одном и том же пространстве элементарных событий

Закон распределения вероятностей многомерной случайной величины Х задается ее функцией распределения

которая является числовой функцией многих переменных и как вероятность принимает значения на отрезке [0,1].

Свойства двумерной функции распределения совпадают с многомерной.

1. 0 , так как это вероятность.

2. F(x,y) –неубывающая функция.

3. F(x) непрерывна в каждой точке слева

4.

5.

6. Вероятность того, что случайная точка попадет в замкнутый прямоугольник.

7.

Двумерный дискретный закон распределения изображается в виде таблицы, где в первой строке строчки перечисляются возможные значения случайной величины , в первом столбце возможные значения

Y1	P11	P12		P1n
Y2	P21	P22		P2n
Yn	Pm1	Pm2		Pmn

При этом должно выполняться условие нормировки

Обозначим одномерные законы распределения

	X1		Xn
P	P1		Pn

	y1		yn
P	q1		qn