- •1Случайные события. Действия над событиями.
- •2.Классическое опред. Вероятности и ее свойства.
- •3.Аксиоматическое определение вероятности.
- •5.Условная вероятность. Независимость событий.
- •6.Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7.Схема независимых испытаний Бернулли.
- •8.Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •10.Плотность распред.Вероятностей и ее свойства.
- •11.Математическое ожидание и его свойства.
- •12.Дисперсия и ее свойства.
- •13.Коэффициент корреляции и ковариация.
- •14.Моменты.
- •15.Осн. Дискретные распред.Случайных величин.
- •16.Равномерное и показательное распределения. Равномерное распределение.
- •Показательное распределение.
- •17.Нормальное распределение.
- •18.Двумерная функция распред. И ее свойства.
- •19.Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20.Независимость случайных величин.
- •21.Условный закон распределения.
- •22.Неравенство Чебышева. Сходимость случайных последовательностей.
- •23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •24.Центральная предельная теорема.
- •25.Выборочный метод.
- •26.Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •27.Гистограмма и полигон.
- •28.Числовые характеристики выборки.
- •29.Точечное оценивание
- •30.Доверительные интервалы
- •31.Распределения , Стьюдента и Фишера.
- •33.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .
- •34.Проверка статистических гипотез.
- •35.Построение критической области.
- •36.Критерий согласия Пирсона.
- •37.Вычисления теоретических частот для нормального распределения.
- •38.Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
- •39.Сравнение средних двух нормальных выборок (критерий Стьюдента).
- •40.Дисперсионный анализ.
- •41.Парная регрессия.
- •42.Парный коэффициент корреляции, его свойства.
- •43.Проверка гипотезы о достоверности выборочного коэффициента корреляции.
- •44.Нелинейная парная регрессия.
5.Условная вероятность. Независимость событий.
Часто интересует вероятность появления события А после того, как некот.событие В уже произошло. Такую вероятность наз.условной и обознач.P(A/B) и вычисляют по формуле
Аналогично, условная вероятность события B при условии, что событие A уже произошло, вычисляется
.
Из вышепредложенных формул следует теорема умножения:Вероятность произвед.2ух произвольных событий равна произвед.вероятности одного из событий на условную вероятность второго, при условии, что первое уже произошло. .
Распространим теорему умножения на конечное число событий:Вероятность совместного появления нескольких произвольных событий равна произвед. вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошли: .
События А и В наз.независимыми,если вероятность их произвед. равна произведению вероятностей этих событий. .
Сравнивая формулы P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) и ,
получим : .
Следовательно, для независимых событий условная и безусловная вероятности совпадают .
Для конечного числа попарно независимых событий вероятность произведения событий равна произведению вероятностей каждого из событий .
6.Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Пусть событие А может произойти только с одним из n несовместных событий H1…Hn, образующих полную группу:
Ø, , тогда .
Так как события и несовместны, то и ( ) и ( ) являются несовместными. Тогда по теореме сложения .
Применяя теорему умножения к каждому слагаемому, получим формулу полной вероятности: .
События H1, H2,…, Hn часто называют гипотезами.
Иногда интересует, как перераспределятся вероятности гипотез после того, как событие А уже произошло: . По теореме умножения , .
Подставляя в знаменатель формулу полной вероятности, получим формулу Байеса:
.
7.Схема независимых испытаний Бернулли.
Пусть производится последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможно только 2 исхода: событие А или появится или не появится.
Обозначим вероятность появления события , не появления , .
Под элементарным событием в схеме Бернулли понимается последовательность наступлений и не наступлений события А в n испытаниях.
Обозначим А={1}, ={0}. Тогда элементарный исход можно представить в виде вектора, состоящего из нулей и единиц, например (1,0,…, 1).
Состоящего из нулей и единиц, например (1,0,…, 1).
Найдем вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз.
Вычислим сначала вероятность того, что в 3-х испытаниях событие А появится 2 раза при условии, что вероятность наступления А в одном испытании равна p. При этом возможны следующие элементарные исходы:
(1,1,0); (0,1,1); (1,0,1).
Вероятность каждого элементарного исхода одинакова и равна p2q. Таким образом, вероятность того, что в 3-х испытаниях событие наступит 2 раза
.
Для произвольных m и n вероятность одного элементарного исхода равна pmqn-m . Число таких элементарных исходов равно числу способов разместить m единиц по n местам, а это по определению есть число сочетаний из n элементов по m. Получим формулу Бернулли
.
Часто в схеме Бернулли интересует вероятность появления события А не ровно m раз, а от m1 до m2 раз включительно.Тогда она определяется формулой: