10.Плотность распред.Вероятностей и ее свойства.

Плотностью распред.вероятностей случ.велич. наз.производная функции распред.: .

Свойства.

1. , , так как это производная неубывающей функции.

2. , т.к.

.

3. .

Следует из определения и свойства 2.

4. Свойство нормировки: .

В частности, если все возможные значения случайной величины заключены в интервале от a до b, то .

Случ.велич.наз.распределенной по равномерному закону, если ее плотность вероятности принимает постоянное значение в пределах заданного интервала.

11.Математическое ожидание и его свойства.

Мат.ожиданием дискретной случ.величины наз.сумма произвед.всевозможных её знач.на вероятности этих значений = , если этот ряд сходится абсолютно.Если мат.ожидание равно бесконечности, то говорят, что оно не сущ. хар-зует среднее знач.случайн.велич., взвешенное по вероятности.Мат.ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей p(x) называется интеграл = , если он сходится абсолютно.

Свойства математического ожидания : 1. MC=C; 2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M( )=M +M ; 3. Для независимых случайных величин и математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий: M( )=M * M . Следствие: постоянный множитель выносится за знак математического ожидания: М(a* )=aM( ).

12.Дисперсия и ее свойства.

Наряду с числовыми хар-ристиками положения вводят и др.числовые характеристики. Например, для того чтобы оценить рассеяние случайных величин вокруг математического ожидания, пользуются числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины ξ от своего математического ожидания: .

Выполним преобразования:

Для дискретной случайной величины ξ с законом распределения (x_i,p_i) дисперсия равна

или

Для непрерывной случайной величины ξ с плотностью вероятности p(x) дисперсия равна

Дисперсия характеризует рассеяние возможных значений ξ вокруг своего математического ожидания.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. В связи с этим часто используют среднее квадратичное отклонение, выраженное в тех же единицах, что и случайная величина.

Средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из дисперсии .

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной равна нулю.

2. Для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий

3. Если a и b = const, то

Следствие

Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате

.

13.Коэффициент корреляции и ковариация.

К числовым характеристикам связи относят ковариацию коэффициент корреляции.

Ковариацией случайных величин _{1, 2} называется математическое ожидание произведения отклонений случайных величин от своих матожиданий

Раскрыв скобки, по свойствам матожидания, получим

Свойства ковариации:

1.

2. Для независимых случайных величин ковариация равна нулю

Обратное не верно. Можно привести пример, когда ковариация равна 0, но случайные величины зависимы.

3. Постоянный множитель выносится за знак ковариации.

4.

Ковариация служит для качественной характеристики зависимости между случайными величинами.

Коэффициентом корреляции называется

.

Свойства коэффициента корреляции:

1. .

2. Если и независимы, то коэффициент корреляции равен 0. Обратное не верно. Если =0, то говорят, что ₁ и ₂ некоррелированы.

3. Если ₁ и ₂ связаны линейной зависимостью , то Причем, если то ; если , то .

Если , то говорят, что ₁ и ₂ связаны корреляционной зависимостью, тем более тесной, чем ближе к 1.

Коэффициент корреляции служит для количественной характеристики меры линейной зависимости случайных величин.