14.Моменты.

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями моментов случайных величин. Начальным моментом порядка k с.в. Х называется м.о. k-й степени этой величины, обозначается через α _k. α _{k =} м ( Х^k ) Для д. с. в. начальный момент выражается суммой:α _{k =}∑ х _i^k * p_i , а для непрерывной случайной величины - интегралом α _{k =}∫ х ^k * f (х) dх. В частности , α ₁ = МХ, т. е. начальный момент 1- го порядка есть м. о. Центральным моментом порядка k с.в. Х называется м. о. величины ( М – МХ )^k , обозначается через µ _k. µ _k = М(Х – МХ)^k В частности , µ ₂ = DХ , т.е. центральный момент 2-го порядка есть дисперсия; µ ₁ = М(Х – МХ) =0

Для д.с.в. µ _k =∑ (х_i – МХ)^k * p_i , а для н.с.в. µ _k = ∫ (х- МХ)^k * f (х) dх. Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты. Так, µ _k =DХ = α ₂ - α ₁² Среди моментов высших порядков – 3-й и 4-й порядок. Коэффициентом асимметрии ( скошенности ) А с.в. Х наз. величина:

А= µ ₃ /σ_х³ =М(Х-МХ)³ / (DХ)^3/2 . Если А>0 , то кривая распределения более полога справа от М₀Х. Если А<0, то кривая распределения более полога слева от М₀Х. Коэффициентом эксцесса (островершинности) Е с.в. Х наз. величина Е= (µ ₄ /σ_х⁴ )-3 =М(Х-МХ)⁴ / (DХ)² -3. Если Е>0 – более островершинное распределение , а распределения плосковершинные имеют Е<0.

15.Осн. Дискретные распред.Случайных величин.

1. Биноминальное распределение. Рассмотрим схему Бернулли. Производится последовательность n независимых испытаний в каждом из которых возможно только 2 исхода.

P(A)=p P( )=q p+q=1

возможное распределение этой величины. Вероятность этих значений вычисляется по формуле Бернулли. .

Найдем МО и DX , где -число появлений события в i-ом (одном) испытании.

Закон распределения

	0	1
P	q	p

МО: M =0*q+1*p=p ; M =np

Чтобы найти дисперсию M ₂=0²*q+1²*p=p, D = M _2- (M )²=p-p²=p(1-p)=pq

Так как дисперсии независимы D =npq

2. Распределение Пуассона. Пусть производится n независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события A равна p. Для определения вероятности k пользуется ф. Бернулли. Если вероятность мала, а число испытаний велико то формулой Пуассона.

=0,1,...,m. P_m=

Mξ=∑m*a^m/m!*e^-a =a, Mξ²=∑m² * a^m/m!*e^-a =a+a²

В распределении пуассона МО и Дисперсия равны а

3. Геометрическое распределение. Производится последовательность независимых испытаний в каждом из которых только 2 исхода

P(A)=p P( )=q p+q=1

Испытание производится до появления события А. Вероятности этих значений P_m=q^m-1p, P₃=q₂p, ; S = . Если ряд сходится его можно почленно дифференцировать.

D

16.Равномерное и показательное распределения. Равномерное распределение.

Плотность распределения:

Рисунок 1 График плотности вероятности равномерного распределения

Функция распределения:

Рисунок 2 График функции равномерного распределения

Равномерное распределение имеет два параметра и .

Матожидание и дисперсия:

, .