23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.

Теорема Чебышева: Если X₁, X₂,…,X_n – последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одним и тем же числом С, то для любого ε >0 выполняется

Доказательство. Введем в рассмотрение случайную величину – среднее арифметическое случайных величин

. Найдем матожидание

И дисперсию

Следовательно – дисперсия конечная. Тогда к применим неравенство Чебышева

Переходя к пределу получим

А так как вероятность не может быть больше 1, то предел равен 1.

Суть закона больших чисел.

Если число случайных величин неограниченно растет, то их среднее арифметическое утрачивает смысл случайной величины и стремится к постоянному числу равному среднему арифметическому их матожиданий.

Следствием теоремы Чебышева является теорема Бернулли.

Пусть - число появления события А в n испытаниях в схеме Бернулли, и p – вероятность появления А в одном испытании. Тогда для любого справедливо -частота появления события.

Пусть , где - число появления события А в i-ом испытании.

Дисперсия любой величины равна произведению pq, так как p+q=1, то p*q не превышает ¼, и следовательно дисперсии всех величин ограничены числом c=1/4

Применим теорему Чебышева: так как матожидание равно вероятности наступления события.

Так как равна относительной частоте появления события А (m/n)(каждая величина _{1, 2}, _n при появлении события в соответствующем испытании равна 1 и поэтому их суму равна m), то окончательно получим , что и т.д.

24.Центральная предельная теорема.

Пусть - последовательность независимых случайных величин и закон распределения не известен.

ЦПТ – называется набор предположений, которые обеспечивают нормальный закон распределения для суммы этих случайных величин

Обозначим через их сумму.

Говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема

Частным случаем ЦПТ является интегральная теорема Муавра-Лапласса.

Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что если речь не идет о редких событиях, то биноминальное распределение стремится к нормальному.

Сформулируем ЦПТ для одинаково распределенных случайных величин.

Пусть случ величины независимо имеют одинаковые М, D, то к этой последовательности применима ЦПТ.

Суть ЦТП

Если число случайных величин неограниченно растет, то закон распределения их сумма стремится к нормальному распределению независимо от того по какому закону распределены слагаемые.

25.Выборочный метод.

Пусть изучается некоторые количественный признак Х и пусть для его изучения имеется некоторая совокупность объектов. Иногда исследуются все объекты совокупности, иногда только их часть.

Совокупность объектов, взятых для исследования называется выборочной или выборкой. Совокупность объектов из которых взята выборка называется генеральной. Число объектов совокупности называется объемом.

Чтобы выборка хорошо отражала генеральную совокупность,ее объекты должны браться случайно и независимо друг от друга.

Пусть в выборке значении x₁ встретилось n₁ раз, x₂-n₂,….,x_k-n_k раз.

Возможные значения x_i – варианты, n_i – их частоты, ∑n_i объем выборки

n_i/n =w_i– относительные частоты.

Перечень вариантов, записанных в возрастающем порядке и соответствующим их частот называется статистическим распределением выборки или вариационным рядом.