1Случайные события. Действия над событиями.

Теория вероятности пользуется языком теории множеств, т.е. события это мн-ва, а действия над событиями – действия над мн-вами.Случайные события обозначаются большими латинскими буквами, а числа маленькими латинскими буквами. Множества событий обознач.греческими буквами.

Дадим опред.действиям над событиями:

1. Если при появлении события А происходит и событие B, то говорят, что событие А влечет за собой событие В и обознач. А B.

2. Если А B и В А, то говорят, что события А и В равновозможны и обозначают А=В.

3. Событие,сост.в том, что появится хотя бы одно из событий А или В наз.суммой событий и обознач. А+В.

4. Событие, состоящее в том, что события А и В появятся одновременно, называется произведением событий и обозначается А*В.

5. Событие, состоящее в том, что А произойдет, а В не произойдет, называется разностью: А-В.

6. Событие, состоящее в том, что А не произойдет, называется противоположным и обозначается .

7. Событие называется достоверным, если оно с точно происходит, и обозначается Ω (омега).

8. Событие называется невозможным, если оно не может произойти, и обозначается Ø.

9. События А и В называются несовместными, если их одновременное появление невозможно- Ø.

10. События А и называются противоположными, если их одновременное появление невозможно и в сумме они дают пространство элементарных событий

Ø, .

11. События В₁, ..., В_n образуют полную группу, если любые 2 из них одновременно появится не могут и в сумме они дают пространство элементарных событий.

Ø, .

2.Классическое опред. Вероятности и ее свойства.

Классической вероятностью наз.отн-е числа несовместных равновероятных событий, составл. А, к общему числу элементарных событий-- .

Формула классической вероятности позволяет решать ограниченное число задач:

1) число элементарных событий конечно,

2) все элементарные событий равновозможны.

Свойства классической вероятности:

1. Для любого события вероятность есть число неотрицательное: .

2. Теорема сложения:Если событие А можно разбить на 2 несовместных события В и С, то вероятность события А равна сумме вероятностей В и С

.

3. Вероятность достоверного события равна единице.

, т.к. .

4. Вероятность противоположного события равна

.

5. Вероятность невозможного события равна 0:

P(Ø) = 0 , т.к. m = 0.

6. Если событие А влечет за собой событие В, то .

7. Для любого события .

3.Аксиоматическое определение вероятности.

Аксиоматическое построение теории вероятностей создано в начале 30-х годов А. Н. Колмогоровым. Аксиомы теории вероятностей вводятся так, чтобы вероятность события обладала основными св-вами статистич.вероятности, характериз.ее практич.смысл. В этом случае теория хорошо согласуется с практикой.

Пусть Ω – мн-во всех возможных исходов некот. опыта,S – алгебра событий. Сов-ть S подмн-в мн-ва Ω наз.алгеброй (σ-алгеброй), если выполнены след.усл.:

1.S содержит невозможное и достоверное события.

2.Если события А₁, А₂, А₃,… (конечное или счетное мн-во) принадлежат S, то S принадлежит сумма, произведение и дополнение (т. е. противоположное для А_i) этих событий.Вероятностью наз.функция Р(А), определенная на алгебре событий S,принимающая действительные значения и удовлетв.след.аксиомам:

А1. Аксиома неотрицательности: вероятность любого события А пренадлежащего S неотрицательна, т. е.:

Р(А) ≥ 0.

А2. Аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна единице, т.е.:Р(Ω) = 1.

А3. Аксиома аддитивности: вероятность суммы несовместных событий, т. е. если А_i ∙ Аj = Ø (і ≠ ј), то

Р(∑ А_k) = ∑ Р(А_k).

Сов-сть объектов (Ω, S, Р), где Ω – пространство элементарных событий, S – алгебра событий, Р – числовая функция, удовлетворяющая аксиомам А1-А3, называется вероятностным пространством случайного эксперимента.

Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления; заданием этого пространства завершается аксиоматика теории вероятностей.

4.Формулы комбинаторики.Гипергеометрическое распред.При решении задач по формуле классич. вероятности часто примен.формулы комбинаторики.

1. Перестановками наз.комбинации составл.из одних и тех же элементов, кот.отличаются только порядком их расположения. Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле P_{n =} n!

2. Размещениями наз.комбинации, составл.из n элементов по m, кот.различ.либо составом элементов, либо порядком их следования.Число размещений из n элементов по n вычисляется по формуле

3. Сочетанием наз.комбинации, сост.из n элементов по m, кот.различаются только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле:

Свойство сочетаний.

1. C_n⁰=1, 0!=1

2. C_n¹= n,

3. C_n^m=C_n^n-m

Урновая схема:

Пусть в урне имеется N шаров, среди которых М белых, а остальные черные. Наудачу вытащили k шаров, найти вероятность того, что среди них l белых.

Эта ф-ла наз. гипергеометрическим распределением.