34.Проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой называется гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения. Нулевой или основной называется выдвинутая гипотеза . Конкурирующей или альтернативной называется гипотеза H₁, которая противоречит нулевой. Статистическим критерием называется случайная величина, которая служит для проверки гипотезы . При проверке статистических гипотез возможно возникновение ошибок. Ошибка первого рода возникает, когда мы отвергаем правильную нулевую гипотезу. Вероятность совершить ошибку первого рода называется уровнем значимости и обозначается : . Ошибка второго рода возникает, когда мы отвергаем правильную гипотезу _. Вероятность совершить ошибку второго рода обозначается : . Величину ошибки первого и второго рода исследователь выбирает самостоятельно: 0,01; 0,05; 0,001. Отметим, что невозможно одновременно уменьшать ошибки первого и второго рода, так как речь идет об одних и тех же гипотезах. Значение статистического критерия, при котором принимают, называется областью принятия гипотезы. Значения критерия, при которых гипотезу отвергают, называется критической областью. Точка, которая отделяет эти области, называется критической.

Правосторонней называется критическая область, определяемая неравенством .

Левосторонней называется критическая область, определяемая неравенством .

Двусторонней называется критическая область, определяемая неравенством .

Проверка статистических гипотез осуществляется следующим образом:

1) по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия (К_набл).

2) если К_набл попало в критическую область нулевую гипотезу отвергают, а если в область принятия гипотезы, то H₀ принимают.

35.Построение критической области.

Рассмотрим построение правосторонней критической области. Пусть вид распределения критерия k для проверки H₀ известен и его плотность P_k(X).

Критическую точку найдем из определения уровня значимости.

; и p_k(x) известны.

Найдем K_кр

;

Рассмотрим построение двусторонней критической области

Раскроем знак модуля и перейдем к правосторонней критической области

;

При компьютерном подходе на основании k наблюдаемого вычисляется минимальное значение уровня значимости при котором H₀ отвергается.

Если P мало(<0.05) то гипотезу отвергают.

36.Критерий согласия Пирсона.

Критерий проверки гипотез о предполагаемом виде распределения называется критерием согласия. Наиболее распространенным из них является критерий согласия Пирсона или критерий .

Пусть вид распределения изучаемого признака Х неизвестен и пусть есть основание предполагать, что он распределен по некоторой функции теоретического распределения . Обозначим

На основании данных выборки построим интервальный вариационный ряд. Для этого найдем:

1. и размах варьирования .

Весь интервал наблюдаемых значений Х разделим на k частичных интервалов одинаковой длины h=R/k k=3,32lgn Левую границу первого интервала возьмем так чтобы хмин попало внутрь интервала z0=xmin- h/2 тогда правая гр последнего интервала может быть zk=xmax +h/2

В результате получим следующий интервал z0<z1<z2<….<zk

2. Подсчитаем число вариант попавших в i-ый интервал

3. Затем для каждого интервала вычислим вероятности попадания случайной величины в построенные интервалы исходя из функции распределения .

4. Теоретические частоты вычислим по формуле .

Критерий Пирсона позволяет ответить на вопрос, значимо ли различаются теоретические и эмпирические частоты. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается величина

.

Можно доказать, что при закон распределения случайной величины стремится к закону распределения с -степенями свободы =k-l-1, l-число параметров предлогаемого распр. Поэтому случайная величина обозначается через , а сам критерий называют критерием согласия «хи-квадрат».

Правило: Для того чтобы, при заданном уровне значимости проверить гипотезу H₀: генеральная совокупность распределена по закону , надо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости, и числу степеней свободы , найти критическую точку .

Если , то нет оснований отвергнуть H₀, следовательно, признак Х распределен по закону .

Если , то H₀ отвергаем и принимаем Н₁, следовательно, признак Х распределен по другому законную

Замечание. Для того чтобы эмперич ф-ция распр лучше приближалась к теоретич число интервалов к должно быть большим однако построение критерия хи-квадрат основано на немалых числах ni

Если некоторые частоты малы <5то соседние интервалы объединяються и соответствующие частоты складываются в этом случае число степеней свободы уменьшается на 1