- •1Случайные события. Действия над событиями.
- •2.Классическое опред. Вероятности и ее свойства.
- •3.Аксиоматическое определение вероятности.
- •5.Условная вероятность. Независимость событий.
- •6.Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7.Схема независимых испытаний Бернулли.
- •8.Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •10.Плотность распред.Вероятностей и ее свойства.
- •11.Математическое ожидание и его свойства.
- •12.Дисперсия и ее свойства.
- •13.Коэффициент корреляции и ковариация.
- •14.Моменты.
- •15.Осн. Дискретные распред.Случайных величин.
- •16.Равномерное и показательное распределения. Равномерное распределение.
- •Показательное распределение.
- •17.Нормальное распределение.
- •18.Двумерная функция распред. И ее свойства.
- •19.Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20.Независимость случайных величин.
- •21.Условный закон распределения.
- •22.Неравенство Чебышева. Сходимость случайных последовательностей.
- •23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •24.Центральная предельная теорема.
- •25.Выборочный метод.
- •26.Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •27.Гистограмма и полигон.
- •28.Числовые характеристики выборки.
- •29.Точечное оценивание
- •30.Доверительные интервалы
- •31.Распределения , Стьюдента и Фишера.
- •33.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .
- •34.Проверка статистических гипотез.
- •35.Построение критической области.
- •36.Критерий согласия Пирсона.
- •37.Вычисления теоретических частот для нормального распределения.
- •38.Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
- •39.Сравнение средних двух нормальных выборок (критерий Стьюдента).
- •40.Дисперсионный анализ.
- •41.Парная регрессия.
- •42.Парный коэффициент корреляции, его свойства.
- •43.Проверка гипотезы о достоверности выборочного коэффициента корреляции.
- •44.Нелинейная парная регрессия.
30.Доверительные интервалы
Оценка неизвестного параметра, которая задается 2 числами (концами интервала) называется интервальной. пусть по выборки получена точечная оценка θ (с крышкой), неизвестного параметра θ. Это оценка тем точнее, чем меньше l θ - θ (с крышкой)l. Методы математической статистики не позволяют наверняка утверждать, что выполняется неравенство l θ - θ (с крышкой)l<δ, где δ>0. Можно лишь говорить о вероятности его выполнения: Р(l θ - θ (с крышкой)l)<δ=γ. Величина γ называется доверительной вероятностью или надежностью. В качестве γ берут число, близкое к единице: 0,98,0,99, 0,995. Оно выбирается исследователем самостоятельно. Раскрыв знак модуля , получим определение доверительного интервала: P(θ (с крышкой) < θ < θ (с крышкой) +γ). Доверительным называется интервал (θ (с крышкой) - δ;θ (с крышкой)+δ), который покрывает параметр θ с заданной надежностью γ. При этом δ называется точностью оценки. Замечание: неверно говорить, что θ попадет в интервал. Задача состоит в том, чтобы построить такой интервал, который бы заключал в себе неизвестный параметр θ. Для того, чтобы построить доверительный интервал, необходимо знать закон распределения оценки θ (с крышкой)= θ (с крышкой)(х1,х2,…,хn) как функция отборки (х1, х2, …,хn). Затем поступают следующим образом:1.вычисляют точечную оценку θ (с крышкой) 2)выбирают надежность γ 3)вычисляют точность оценки δ.
31.Распределения , Стьюдента и Фишера.
Распределение (хи-квадрат). Пусть независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда случайная величина называется распределённой по закону с n степенями свободы. Математическое ожидание и дисперсия распределения равны: , График – плотность распределения .При n распределение медленно стремится к нормальному.
Распределение Стьюдента. Пусть и независимы и имеет стандартное нормальное распределение, а - распределение с k степенями свободы. Тогда случайная величина называется распределённой по закону Стьюдента с k степенями свободы. График – плотность распределения
Стьюдента. При k распределение Стьюдента быстро стремится к нормальному. Математическое ожидание и дисперсия распределения Стьюдента – MT=0, DT= .
Распределение Фишера. Пусть и независимы и имеют распределение с и числом степеней свободы соответственно. Тогда случайная величина называется распределённой по закону Фишера c и числом степеней свободы.
График – плотность распределения Фишера. Замечание. Табличные значения случайной величины Фишера всегда больше 1.
32.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном .
33.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .
Пусть изучаемый признак Х имеет нормальное распределение. Построим по выборке доверительный интервал для оценки математического ожидания .
Несмещенной и состоятельной оценкой матожидания является выборочное среднее значение .
1. Значение параметра известно. Доверительный интервал будет иметь вид:
Здесь n – объем выборки. Точность оценки
= ,
где значение числа находится с помощью таблиц функции Лапласа из уравнения .
2. Пусть неизвестно.
В этом случае доверительный интервал будет иметь аналогичный вид, только вместо нужно подставить его оценку:
.
В результате доверительный интервал имеет вид
В этом случае определяется по таблице распределения Стьюдента на основании и числа степеней свободы .
Так как при распределение Стьюдента быстро стремится к нормальному, то при больших объемах выборки ( ) при нахождении
можно пользоваться таблицей функции Лапласа.