41.Парная регрессия.

Интересует установление взаимосвязи между двумя признаками X и Y.

X и Y могут быть независимы, связаны между собой функциональной либо корреляционной зависимостью. При корреляции зависимость изменений каждого отдельного значения Х необязательно влечет за собой изменение Y, однако изменение приводит к изменению .

Зависимость вида y=f(x)+ , - ошибка оценки.

Чтобы установить вид зависимости строится поле корреляции. На XOY наносят координаты (x_i, y_j) и по расположению точек делают вывод о виде зависимости.

Пусть вид зависимости линейный:

Коэффициенты b₀ и b₁ найдем по методу наименьших квадратов

где x_i , y_{i –} выборочные значения; n – об. Выборки.

теоретические значения y.

Найдем b₀ и b₁ такие, при которых функция S достигает минимума.

{

Перейдем к средним значениям, поделив на n.

{

(2)

Методика построения уравнения регрессии:

42.Парный коэффициент корреляции, его свойства.

(4)

Коэффициент обладает все теми же свойствами, что и теоретический коэффициент корреляции.

1. если x и y независимы, то 0.

2. -1<= 1

3. если x и y связаны линейной зависимостью, т.е. при , то

b>0, =1 b<0, =-1

Таким образом коэффициент является количественной характеристикой зависимости x и y. Чем ближе к единице, тем теснее и ближе к линейной зависимости между X и Y.

43.Проверка гипотезы о достоверности выборочного коэффициента корреляции.

Пусть на выборке объема n найден коэффициент корреляции X и Y и он отличен от 0. Возможно, при этом, что генеральный коэффициент корреляции равен 0, а выборочное отличие от 0 случайно.

Проверим

H0: =0 H1:

Для проверки гипотезы H₀ используем свойство T

При справедливости H₀ эта случайная величина имеет распределение Стьюдента с (n-2) числом степеней свободы. Проверка H₀ осуществляется следующим образом

1. вычисляется наблюдаемое значение критерия

2. по таблице критических точек распределения Стьюдента

max

|Тнабл|>Tкр, то H₀ отвергается и принимается H₁, следовательно X и Y связаны между собой достоверной корреляционной зависимостью. |Тнабл|<Tкр, нет основания отвергнуть H₀, то недостоверно отличается от 0 (случайно) и между X и Y нет корреляционной зависимости. Методика построения уравнения регрессии

44.Нелинейная парная регрессия.

В случае линейной зависимости применение метода наим-х квадратов (МНК) приводит к решению линейной алгебр-й с-мы относительно и , она имеет единственное решение. Кроме этого, оценки коэф-тов и явл-ся несмещенными, самостоят-ми и эффективными.

В случае нелинейной зав-сти применение МНК приводит к решению нелинейной с-мы, к-я в общем случае не имеет решения в известных аналит-х ф-ях, тогда прим-ся приближ-е методы для вычисления оцениваемых коэф-тов.

1. Пусть . Обозначим ,тогда получим множ-ю лин-ю модель

.

2. Обратнопропорциональная зависимость

. , .

3. Степенная модель

,

,

, , , .

.

4. Показательная

,

,

, , ,

.

Типичные задачи с нелинейной зав-стью:

1.Полиномеальная. Реально строятся полиномы (многочлены) для 2 и 3 степени, для больших степеней модели невозможно использовать для прогноза,т.к. . Пример: ф-ция издержек в зависимости от выпуска продукции описывается квадратической моделью.

2. Обратная пропорциональная зависимость. Взаимосвязь между ростом з/п и темпами инфляции, з/п работников физ-го труда и возрастом.

3. Степенная модель в экон-й лит-ре часто наз-ся произв-й ф-ей, т.к. как правило, этой моделью опис-ся взаимосвязь между показ-ми пр-ва.