- •I . Борівська теорія атома
- •1.1. Закономірність в атомних спектрах
- •1.2. Модель атома Томсона
- •1.3. Досліди по розсіянню -частинок. Ядерна модель атома
- •1.4. Постулати Бора. Дослід Франка і Герца
- •1.5. Елементарна борівська теорія водневого атома
- •II. Елементи квантової механіки
- •2.1. Гіпотеза Луї де Бройля. Корпускулярно-хвильовий дуалізм
- •2.2. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга
- •2.3. Рівняння Шредінгера
- •2.4. Фізичний зміст псі-функції
- •2.5. Квантування енергії
- •2.6. Рух вільної частинки
- •2.7. Частинка в нескінченно глибокій потенціальній ямі
- •2.8. Гармонічний осцилятор
- •2.9. Проходження частинки крізь потенціальний бар’єр
- •2.10. Квантування моменту імпульсу
- •III. Квантова теорія атомів і молекул
- •3.1. Квантова теорія атома водню
- •3.2. Багатоелектронні атоми
- •3.2.1. Спектри лужних металів
- •3.2.2. Нормальний ефект Зеємана
- •3.2.3 Мультиплетність спектрів і спін електрона
- •3.2.4 Механічний та магнітний моменти багатоелектонного атома
- •3.2.5. Розподіл електронів в атомі за станами. Періодична система елементів д.І. Менделєєва
- •3.2.6. Рентгенівські спектри
- •3.2.7. Енергія молекули
- •3.2.8. Молекулярні спектри
- •3. 2. 9 Комбінаційне розсіювання світла
- •3. 2.10. Вимушене випромінювання. Лазери
- •I. Борівська теорія атома………………………………………………………..…3
2.4. Фізичний зміст псі-функції
Правильну інтерпретацію псі-функції дав німецький фізик-теоретик М. Борн (1882-1970) в 1926 р.
Як відомо, квадрат амплітуди хвилі визначає ймовірність попадання фотона в дану точку простору. За аналогією згідно з тлумаченням М. Борна квадрат модуля хвильової функції для будь-якої точки простору, помножений на елементарний об’єм, що включає цю точку, має визначати ймовірність знаходження частинки в межах об’єму , тобто
, (2.27)
де - функція, комплексно спряжена з , - коефіцієнт пропорційності.
Таким чином, квантова механіка має статистичний характер, і за допомогою хвильової функції визначається тільки ймовірність виявлення мікрочастинки в різних точках простору.
Інтеграл від виразу (2.27), взятий по всьому об’єму, повинен дорівнювати одиниці:
. (2.28)
Дійсно, цей інтеграл дає ймовірність того, що частинка знаходиться в одній з точок простору, тобто ймовірність достовірної події, яка дорівнює одиниці.
У квантовій механіці приймається, що псі-функція може бути помноженою на відмінне від нуля довільне комплексне число , при чому і описують один і той самий стан частинки. Ця обставина дозволяє вибрати псі-функцію так, щоб вона задовольняла умові
. (2.29)
Умову (2.29) називають умовою нормування. Функції, які задовольняють умові (2.29), називають нормованими. Співставивши (2.28) та (2.29), знаходимо, що для нормованої функції вираз (2.27) набуває вигляду
. (2.30)
Із (2.30) випливає, що має зміст густини ймовірності.
У випадку стаціонарного силового поля псі-функція має вигляд (2.21). Відповідно
,
так що густина ймовірності дорівнює і від часу не залежить. З цієї причини стани, що описуються псі-функціями виду (2.21), були названі стаціонарними.
Із смислу псі-функції випливає, що квантова механіка має статистичний характер. Вона не дає можливості визначити місце знаходження частинки в просторі або траєкторію руху частинки. За допомогою псі-функції можна лише передбачити, з якою імовірністю частинка може бути виявлена в різних точках простору. На перший погляд начебто квантова механіка менш точно описує рух частинки, ніж класична механіка, яка «точно» визначає координати і швидкість частинки в кожен момент часу. Однак в дійсності це не так. Квантова механіка глибше розкриває дійсну поведінку частинки. Вона лише не визначає того, чого насправді немає.
2.5. Квантування енергії
Рівняння Шредінгера дозволяє знайти псі-функцію певного стану і, отже, визначає ймовірність знаходження частинки в різних точках простору. Однак цим далеко не вичерпується значення цього рівняння. Із рівняння (2.24) і умов, яким повинна відповідати псі-функція, безпосередньо випливає правило квантування енергії.
За своїм смислом псі-функція має бути однозначною (вказувати на ймовірність певного стану), нерозривною (не змінюватись стрибками) і скінченою (за винятком особливих точок). Окрім того її похідна має бути нерозривною і скінченою. Сукупність таких умов називають стандартними умовами.
Параметром рівняння Шредінгера є повна енергія частинки . За правилами диференціальних обчислень рівняння вигляду (2.24) мають рішення, що задовольняють стандартним умовам, не при будь-яких значеннях параметра (тобто енергії ), а лише при певних значеннях. Ці значення називають власними значеннями (у нашому випадку – енергії). Рішення, що відповідають власним значенням , називають власними функціями задачі.
Сукупність власних значень називають спектром величини. Якщо ця сукупність створює дискретну послідовність, спектр називається дискретним, якщо неперервну – спектр називають неперервним або суцільним.
У випадку дискретного спектра власні значення і власні функції можна представити у вигляді сукупностей:
(2.31)
Таким чином, квантування енергії випливає із основних положень квантової механіки без будь-яких додаткових обмежень.
Розрахунки власних значень і власних функцій, як правило, є досить складними. У подальшому розглянемо деякі приклади рішення рівняння Шредінгера для стаціонарних станів.